Bài tập tự luận cấp số nhân trong thực tế

Câu 1: Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là \(1 \% /\) năm. Gọi \(u_{n}\) là số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm kể từ năm 2020 .

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 .

a) Ta có dãy \(u_{n}\) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_{o}=2\) triệu dân và công sai \(q=1 \%\).

Khi đó số hạng tổng quát của

 \(u_{n}=2 \cdot(1+1 \%)^{n-1}\) (triệu dân).

b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

\(u_{10}=2 \cdot(1+1 \%)^{10-1} \approx 2,19\) (triệu dân).

Câu 2: Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi \(4 \%\) (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau \(n\) năm sử dụng.

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là: \(u_{1}=800-800.4 \%=800 .(1-4 \%)=768\) (triệu đồng).

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là: \(u_{1}=800 \cdot(1-4 \%)-800 \cdot(1-4 \%) \cdot 4 \%=800 \cdot(1-4 \%)^{2}=737,28\) (triệu đồng).

b) Gọi \(u_{n}\) là giá trị của ô tô sau \(n\) năm sử dụng.

Dãy số \(u_{n}\) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là \(u_{0}=800\) triệu đồng và công bội \(q=1-4 \%\).

Khi đó công thức tổng quát để tính \(u_{n}=800 .(1-4 \%)^{n}\).

c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là: \(u_{10}=800 \cdot(1-4 \%)^{10} \approx 531,87\) (triệu đồng).

Câu 3: Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài \(100 \mathrm{~m}\). Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(75 \%\) so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên . Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Gọi \(u_{n}\) là độ dài dây kéo sau \(\mathrm{n}\) lần rơi xuống \((n \in N)\)

Ta có: \(u_{0}=100(m)\).

Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: \(u_{1}=100.75 \%(m)\).

Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: \(u_{2}=100.75 \% .75 \%=100\). \((75 \%)^{2}(m)\).

Dãy số này lập thành một cã́p số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội \(q=0,75 \%\), có công thức tổng quát \(u_{n}=100 \cdot(0,75 \%)^{n-1}(m)\).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là:

Câu 4: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong ống nghiệm, cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Nếu ban đầu có 200 vi khuẩn, tính sô lượng vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 2 giờ.

Ta có: 2 giờ = 120 phút=6.20 phút. Do đó sau 2 giớ vi khuẩn phân đôi 6 lần.

Gọi \(u_{n}\) là số lượng vi khuẩn có trong ống nghiệm sau lần phân đôi thứ \(n-1\).

Khi đó, dãy số \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân với \(u_{1}=200\) và \(q=2\).

Ta có \(u_{7}=u_{1} \cdot q^{6}=200 \cdot 2^{6}=12800\).

Vậy sau 2 giờ, trong ống nghiệm có 12800 vi khuẩn.