Bài tập trắc nghiệm - Quy tắc tính đạo hàm

• Tính đạo hàm bằng định nghĩnghĩa

- Giả sử \(\Delta x=x-x_{0}\) là số gia của biến số tại \(x_{0}\).

         Ta tính số gia của hàm số \(\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\).

- Lập ti số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

- Tính 

• Các quy tắc cơ bản trong đạo hàm

Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.

Ta có:

1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\)              \(k\) là hằng số;

2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\)         Đạo hàm của một tống;

3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\)       Đạo hàm của một tích;

4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\)   Đạo hàm của một thương.

Đạo hàm của hàm sơ cấp                                   Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)

1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số

2. \((x)^{\prime}=1\)

3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\)                                               \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)                  

4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\)                                                     \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)

5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)                                                    \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)

6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\)                                                          \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)

7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\)                         \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)

8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\)                                                        \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)

9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\)                                               \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)

10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\)                                                \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)

11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\)                                            \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)

12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)                       \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)

13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\)             \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)

14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                        \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                        \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\)                                          \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\)                                           \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

Câu 1. Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên R bời \(f(x)=2 x^{2}+1\). Giá trị \(f^{\prime}(-1)\) bằng:

A. 2 .

B. 6 .

C. -4 ,

D. 3 .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có : \(f^{\prime}(x)=4 x \Rightarrow f^{\prime}(-1)=-4\).

Câu 2. Cho hàm số \(f(x)=-x^{4}+4 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1\) xác định trên R. Giá trị \(f^{\prime}(-1)\) bằng:

A. 4 .

B. 14 .

C. 15 .

D.24.

Hướng dẫn giải:

Chọn D 

-Ta có: \(f^{\prime}(x)=-4 x^{3}+12 x^{2}-6 x+2\). Nên \(f^{\prime}(-1)=24\).

Câu 3. Đạo hàm của hàm số \(f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{4}\) tại điềm \(x=-1\) là:

A. -32 .

B. 30

C. -64 .

D. 12 .

Hıớng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có : \(y^{\prime}=4\left(x^{2}+1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)^{\prime}=8 x\left(x^{2}+1\right)^{3}\)

Câu 4. Với \(f(x)=\frac{x^{2}-2 x+5}{x-1}\). Thì \(f^{\prime}(-1)\) bằng:

A. 1 .

B. -3 .

C. -5 .

D. 0 .

Huớng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(f(x)=\frac{x^{2}-2 x+5}{x-1}=x-1+\frac{4}{x-1} \Rightarrow f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{(x-1)^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(-1)=0\).

Câu 5. Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên R bời \(f(x)=\sqrt{x^{2}}\). Giá trị \(f^{\prime}(0)\) bằng

A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .

D. Không tồn tại.

Huớng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có : \(f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}}}\)\(\Rightarrow f^{\prime}(x)\) không xác định tại \(x=0\)\(\Rightarrow f^{\prime}(0)\) không có đạo hàm tại \(x=0\).

Câu 6. Cho hàm số \(y=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\). \(y^{\prime}(0)\) bằng:

A. \(y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\).

B. \(y^{\prime}(0)=\frac{1}{3}\).

C. \(y^{\prime}(0)=1\).

D. \(y^{\prime}(0)=2\).

Huớng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có \(: y^{\prime}=\frac{\sqrt{4-x^{2}}-x \frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}}{\left(\sqrt{4-x^{2}}\right)^{2}}=\frac{4}{\left(\sqrt{4-x^{2}}\right)^{3}}\)

Câu 7. Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên R bời \(f(x)=\sqrt[3]{x}\). Giá trị \(f^{\prime}(-8)\) bằng:

A. \(\frac{1}{12}\).

B. \(-\frac{1}{12}\).

C. \(\frac{1}{6}\).

D. \(-\frac{1}{6}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có \(: y=\sqrt[3]{x} \Rightarrow y^{3}=x \Rightarrow 3 y^{2} \cdot y^{\prime}=1 \Rightarrow y^{\prime}=\frac{1}{3 y^{2}}=\frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^{2}}\)

Câu 8. Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R \backslash\{1\}\) bời \(f(x)=\frac{2 x}{x-1}\). Giá trị của \(f^{\prime}(-1)\) bằng:

A. \(\frac{1}{2}\).

B. \(-\frac{1}{2}\).

C. -2 .

D. Không tồn tại.

Huớng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có : \(f^{\prime}(x)=\frac{2(x-1)-2 x}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(-1)=-\frac{1}{2}\).

Câu 9. Cho hàm số \(f(x)\) xác định bởi \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0)\end{array}\right.\). Giá trị \(f^{\prime}(0)\) bằng:

A. 0 .

B. 1 .

C. \(\frac{1}{2}\).

D. Không tồn tại.

Hướg dẫn giải:

Chọn C.

Ta có \(: f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+1}=\frac{1}{2}\).

Câu 10. Cho hàm số \(y=\frac{x^{2}+x}{x-2}\) đạo hàm của hàm số tại \(x=1\) là:

A. \(y^{\prime}(1)=-4\).

B. \(y^{\prime}(1)=-5\).

C. \(y^{\prime}(1)=-3\).

D. \(y^{\prime}(1)=-2\).

Huớng dẫn giaii:

Chon B.

Ta có : \(y^{\prime}=\frac{(2 x+1)(x-2)-\left(x^{2}+x\right)}{(x-2)^{2}}=\frac{x^{2}-4 x-2}{(x-2)^{2}}\)

\(\Rightarrow y^{\prime}(1)=-5\).

Câu 11. Đạo hàm của \(y=\left(x^{5}-2 x^{2}\right)^{2}\) là

A. \(y^{\prime}=10 x^{9}-28 x^{6}+16 x^{3}\).

B. \(y^{\prime}=10 x^{9}-14 x^{6}+16 x^{3}\).

C. \(y^{\prime}=10 x^{9}+16 x^{3}\).

D. \(y^{\prime}=7 x^{6}-6 x^{3}+16 x\).

Huóng dẫn giaii:

Đáp án \(\mathbf{A}\)

Ta có \(y^{\prime}=2 \cdot\left(x^{5}-2 x^{2}\right)\left(x^{5}-2 x^{2}\right)^{\prime}=2\left(x^{5}-2 x^{2}\right)\left(5 x^{4}-4 x\right)=10 x^{9}-28 x^{6}+16 x^{3}\).

Câu 12. Đạo hàm của hàm số \(y=(7 x-5)^{4}\) bằng biểu thức nào sau đây

A. \(4(7 x-5)^{3}\).

B. \(-28(7 x-5)^{3}\).

C. \(28(7 x-5)^{3}\).

D.\(A=y^{\prime \prime}+y=-3 \sin x-2 \cos x+3 \sin x+2 \cos x=0\)

Huớng dẫn giải:

Đáp án C

Vì \(y^{\prime}=4(7 x-5)^{3}(7 x-5)^{\prime}=28(7 x-5)^{3}\).

Câu 13. Cho hàm số \(f(x)=-2 x^{2}+3 x\). Hàm số có đạo hàm \(f^{\prime}(x)\) bằng

A. \(4 x-3\).

B. \(-4 x+3\).

C. \(4 x+3\).

D. \(-4 x-3\).

Hướng dẫn giải: 

Đáp án B

Câu 14. Đạo hàm của hàm số \(y=\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2016}\) là:

A. \(y^{\prime}=2016\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2015}\).

B. \(y^{\prime}=2016\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2015}\left(3 x^{2}-4 x\right)\).

C. \(y^{\prime}=2016\left(x^{3}-2 x^{2}\right)\left(3 x^{2}-4 x\right)\).

D. \(y^{\prime}=2016\left(x^{3}-2 x^{2}\right)\left(3 x^{2}-2 x\right)\).

Hướng dẫn giải: 

Chọn B

Đặt \(u=x^{3}-2 x^{2}\) thì \(y=u^{2016}, y_{u}^{\prime}=2016 \cdot u^{2015}, u_{x}^{\prime}=3 x^{2}-4 x\).

Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: \(y_{x}^{\prime}=y_{u}^{\prime} \cdot u_{x}^{\prime}\).

Vậy: \(y^{\prime}=2016 .\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2015} \cdot\left(3 x^{2}-4 x\right)\).

Câu 15. Đạo hàm của \(y=\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}\) bằng :

A. \(6 x^{5}-20 x^{4}+16 x^{3}\).

B. \(6 x^{5}+16 x^{3}\).

C. \(6 x^{5}-20 x^{4}+4 x^{3}\).

D. \(6 x^{5}-20 x^{4}-16 x^{3}\).

Huớng dẫn giải:

Chọn A

Cách 1: Áp dụng công thức \(\left(u^{n}\right)^{\prime}\)

Ta có \(y^{\prime}=2 \cdot\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \cdot\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{\prime}=2\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \cdot\left(3 x^{2}-4 x\right)\)

Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức :

Ta có: \(y=\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}=x^{6}-4 x^{5}+4 x^{4} \Rightarrow y^{\prime}=6 x^{5}-20 x^{4}+16 x^{3}\)

Câu 16. Tìm \(a, b\) để các hàm số sau có đạo hàm trên \(R . f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-x+1 \quad \text { khi } x \leq 1 \\ -x^{2}+a x+b & \text { khi } x\gt 1\end{array}\right.\)

A. \(\left\{\begin{array}{l}a=13 \\ b=-1\end{array}\right.\)

B. \(\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=-11\end{array}\right.\)

C. \(\left\{\begin{array}{l}a=23 \\ b=-21\end{array}\right.\)

D. \(\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=-1\end{array}\right.\)

Huớng dẫn giaii:

Chọn D

Với \(x \neq 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm

Do đó hàm số có đạo hàm trên \(R \Leftrightarrow\) hàm số có đạo hàm tại \(x=1\).

Ta có \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=1 ; \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=a+b-1\)

Hàm số liên tục trên \(R \Leftrightarrow a+b-1=1 \Leftrightarrow a+b=2\)

Khi đó: \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1\);

Nên hàm số có đạo hàm R thì \(\left\{\begin{array}{l}a+b=2 \\ a-2=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=-1\end{array}\right.\right.\).

Câu 17. Cho hàm số \(f(x)=2 m x-m x^{3}\). Số \(x=1\) là nghiệm của bất phương trình \(f^{\prime}(x) \leq 1\) khi và chỉ khi:

A. \(m \geq 1\).

B. \(m \leq-1\).

C. \(-1 \leq m \leq 1\).

D. \(m \geq-1\).

Huớng dẫn giäi:

Chọn D

Có \(f(x)=2 m x-m x^{3} \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 m-3 m x^{2}\). Nên \(f^{\prime}(1) \leq 1 \Leftrightarrow 2 m-3 m \leq 1 \Leftrightarrow m \geq-1\).

Câu 18. Tìm \(m\) để các hàm số \(y=(m-1) x^{3}-3(m+2) x^{2}-6(m+2) x+1\) có \(y^{\prime} \geq 0, \forall x \in R\)

A. \(m \geq 3\)

B. \(m \geq 1\)

C. \(m \geq 4\)

D. \(m \geq 4 \sqrt{2}\)

Huoơng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: \(y^{\prime}=3\left[(m-1) x^{2}-2(m+2) x-2(m+2)\right]\)

Do đó \(y^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow(m-1) x^{2}-2(m+2) x-2(m+2) \geq 0\)- \(m=1\) thì (1) \(\Leftrightarrow-6 x-6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq-1\) nên \(m=1\) (loại)- \(m \neq 1\) thì (1) đúng với \(\forall x \in \square \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=m-1\gt 0 \\ \Delta^{\prime} \leq 0\end{array}\right.\)

Vậy \(m \geq 4\) là những giá trị cần tìm.

Câu 19 . Tìm \(m\) để các hàm số \(y=\frac{m x^{3}}{3}-m x^{2}+(3 m-1) x+1\) có \(y^{\prime} \leq 0, \forall x \in R\).

A. \(m \leq \sqrt{2}\)

B. \(m \leq 2\)

C. \(m \leq 0\)

D. \(m\lt 0\)

Hướng dẫn giải: 

Chọn C

Ta có: \(y^{\prime}=m x^{2}-2 m x+3 m-1\)

Nên \(y^{\prime} \leq 0 \Leftrightarrow m x^{2}-2 m x+3 m-1 \leq 0\)- \(m=0\) thì (1) trờ thành: \(-1 \leq 0\) đúng với \(\forall x \in\)- \(m \neq 0\),

 khi đó (1) đúng với \(\forall x \in \square \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=m\lt 0 \\ \Delta^{\prime} \leq 0\end{array}\right.\)

Vậy \(m \leq 0\) là những giá trị cần tìm.

Nhiều bạn học sinh gặp khó khăn khi ghi các công thức đạo hàm. Trên thực tế, việc học thuộc các công thức toán không đơn giản. Để việc học thuộc trở nên đơn giản hơn thì các em cần tích cực làm nhiều bài tập, trao đổi cùng bạn bè thầy cô để việc ghi nhớ các công thức lâu hơn.

Để có thể giải một bài đạo hàm nhanh chóng và dễ dàng hơn các em cần nắm vững kiến thức lý thuyết, vận dụng chúng để giải các bài tập, thực hành đa dạng các bài tập tìm tòi thêm những kiến thức mở rộng.

Trên đây là toàn bộ kiến thức được tổng hợp đầy đủ về Đạo hàm. Hy vọng sau khi các bạn học sinh đọc xong có thể vận dụng những kiến thức này để giải các bài tập liên quan đến đạo hàm.

Để học tập hiệu quả hơn, hãy cùng Examon tìm hiểu một phương pháp học được nghiên cứu để việc học trở nên hiệu quả nhất nhé!

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

• Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
• Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
• Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
• Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
• Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệbiệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!