Bài tập tính tích phân hàm lượng giác

1. Bài tập

Dưới đây là một số câu hỏi trắc nghiệm bài tập tính tích phân hàm lượng giác kèm đáp án và lời giải.

Câu 1:

Câu 1. Tính \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sqrt[3]{\sin ^{5} x \cdot \cos x}}\)

A. -2 .

B. -3 .

C. \(-3 / 2\).

D. Tất cả sai.

Đáp án và lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sqrt[3]{\sin ^{5} x \cdot \cos x}} \\=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt[3]{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{5}}} \cdot \frac{d x}{\cos ^{2} x} \\=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{-5}{3}} \cdot \frac{d x}{\cos ^{2} x}\end{array}\]

Đặt \(\mathrm{t}=\tan \mathrm{x}=\gt \mathrm{dt}=\frac{d x}{\cos ^{2} x}\)

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}=>t=1 \\ x=0=>t=0\end{array}\right.\)

\[=>I=\int_{0}^{1} t^{\frac{-5}{3}} d t=\left.\frac{-3}{2} t^{\frac{-2}{3}}\right|_{0} ^{1}=\frac{-3}{2}\]

Chọn C.

Câu 2:

Câu 2. Tính \(\quad I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4 \cdot \sin ^{3} x}{1+\cos x} d x\)

A. 1.

B. 2.

C. -3 .

D. -2 .

Đáp án và lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4 \cdot \sin ^{3} x}{1+\cos x} d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4 \cdot \sin ^{2} x}{1+\cos x} \cdot \sin x d x \\=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4 \cdot\left(1-\cos ^{2} x\right)}{1+\cos x} \cdot \sin x d x\end{array}\]

Đặt \(t=\cos x \Rightarrow d t=-\sin x d x\)

Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}=\gt t=0 \\ x=0=>t=1\end{array}\right.\)

\[\begin{array}{l}=>I=\int_{1}^{0} \frac{4\left(1-t^{2}\right)}{1+t}(-d t) \\=\int_{0}^{1} 4(1-t) d t=\left.\left(4 t-2 t^{2}\right)\right|_{0} ^{1}=2\end{array}\]

Chọn B.

Câu 3:

Câu 3. Tính \(\quad I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{\sin 3 x} d x\)

A. \(\frac{1}{2} \ln (2-2 \sqrt{3})\).

B. \(\ln (1-\sqrt{3})\).

C. \(4 \ln (2+\sqrt{3})\).

D. \(\frac{1}{4} \ln (2-\sqrt{3})\).

Đáp án và lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{\sin 3 x} d x=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{3 \sin x-4 \sin ^{3} x} d x \\=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{3-4 \sin ^{2} x} d x=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{4 \cos ^{2} x-1} d x\end{array}\]

Đặt \(t=\cos x=\gt d t=-\sin x d x\)

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}=>t=0 \\ x=\frac{\pi}{6}=>t=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.\)

\[\begin{array}{l}=>I=\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{-d t}{4 t^{2}-1} \\=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 t-1}-\frac{1}{2 t+1}\right) d t \\\lt =>I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 t-1} d(2 t-1) \\-\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 t+1} d(2 t+1) \\\lt =>I=\left.\frac{1}{4} \ln \left|\frac{2 t-1}{2 t+1}\right|\right|_{0} ^{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{4} \ln (2-\sqrt{3})\end{array}\]

Chọn D.

Câu 4:

Câu 4: Cho \(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{9} x}{\sin ^{20} x} d x\)Hỏi I gần với giá trị nào nhất?

A. 2918.

B. 8236 .

C. 4782 .

D. 7526 .

Đáp án và lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{9} x}{\sin ^{20} x} d x=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{8} x}{\sin ^{20} x} \cos x d x \\=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\left(1-\sin ^{2} x\right)^{4}}{\sin ^{20} x} \cdot \cos x d x\end{array}\]

Đặt t \(=\sin x=\gt d t=\cos x d x\)

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}=>t=1 \\ x=\frac{\pi}{6}=>t=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

\[\begin{array}{l}=>I=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{\left(1-t^{2}\right)^{4}}{t^{20}} d t \\=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1-4 t^{2}+6 t^{4}-4 t^{6}+t^{8}}{t^{20}} d t \\\lt =>I=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(t^{-20}-4 . t^{-18}+6 . t^{-16}\right. \\\left.-4 t^{-14}+t^{-12}\right) d t \\\lt =>I=\left(\frac{t^{-19}}{-19}-\frac{4 . t^{-17}}{-17}+\frac{6 t^{-15}}{-15}\right. \\\left.-\frac{4 . t^{-13}}{-13}+\frac{t^{-11}}{-11}\right)\left.\right|_{1 / 2} ^{1} \approx 7526\end{array}\]

Chọn D.

Câu 5:

Câu 5: Tính \(\quad I=\int_{0}^{\pi / 6} \frac{d x}{\cos x(\sin x-\cos x)}\)

A. \(\ln \frac{3-\sqrt{3}}{3}\).

B. \(\ln \frac{3+\sqrt{3}}{3}\).

C. \(\ln \frac{3 \sqrt{3}}{3}\).

D. Đáp án khác.

Đáp án và lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}I=\int_{0}^{\pi / 6} \frac{d x}{\cos x(\sin x-\cos x)} \\=\int_{0}^{\pi / 6} \frac{d x}{\cos ^{2} x(\tan x-1)}\end{array}\]

Đặt \(\mathrm{t}=\tan \mathrm{x}=\mathrm{dt}=\frac{d x}{\cos ^{2} x}\)

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}=\gt t=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ x=0=>t=0\end{array}\right.\)

\[\begin{array}{l}=>I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{d t}{t-1} \\=\ln |t-1|_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\ln \frac{3-\sqrt{3}}{3}\end{array}\]

Chọn A.

Câu 6:

Câu 6: Tính \(I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{\sin x}\)

A. \(\ln 3\).

B. \(\ln 2\).

C. \(\ln \sqrt{3 } \).

D. Đáp án khác.

Đáp án và lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{\sin x}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}} \\=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{2 \cdot \tan \frac{x}{2} \cdot \cos ^{2} \frac{x}{2}}\end{array}\]

Đặt \(t=\tan \frac{x}{2}=\gt \mathrm{dt}=\frac{1}{2} \frac{d x}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}\)

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}=>t=1 \\ x=\frac{\pi}{3}=>t=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right.\)

\[=>I=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1} \frac{d t}{t}=\ln |t|_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}=\ln \sqrt{3}\]

Chọn C.

Câu 7:

Câu 7: Tính \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x}\)

A. \(2 \sqrt{3}-1\).

B. \(\sqrt{3}-\frac{4}{3}\).

C. \(2 \sqrt{3}-\frac{4}{3}\).

D. \(4 \sqrt{3}-\frac{1}{3}\).

Đáp án và lời giải:

Ta có:

\[\frac{d x}{\sin ^{4} x}=\frac{1}{\sin ^{2} x} \cdot \frac{d x}{\sin ^{2} x}=\left(1+\cot ^{2} x\right) \cdot \frac{d x}{\sin ^{2} x}\]

Do đó:

\[\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x}=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(1+\cot ^{2} x\right) \cdot \frac{d x}{\sin ^{2} x}\]

Đặt \(\mathrm{t}=\operatorname{cotx}=\gt \mathrm{dt}=-\frac{d x}{\sin ^{2} x}\)

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}=>t=1 \\ x=\frac{\pi}{6}=>t=\sqrt{3}\end{array}\right.\)

\[\begin{array}{l}=>\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(1+\cot ^{2} x\right) \cdot \frac{d x}{\sin ^{2} x} \\=\int_{\sqrt{3}}^{1}\left(1+t^{2}\right) \cdot(-d t)=\int_{1}^{\sqrt{3}}\left(1+t^{2}\right) d t \\=\left.\left(t+\frac{t^{3}}{3}\right)\right|_{1} ^{\sqrt{3}}=2 \sqrt{3}-\frac{4}{3}\end{array}\]

Chọn C.

Câu 8:

Câu 8: Tính \(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{8} x}\)

A. \(\frac{534 \sqrt{3}}{17}-\frac{96}{17}\).

B. \(\frac{534 \sqrt{3}}{35}-\frac{96}{35}\).

C. \(\frac{34 \sqrt{3}}{5}-\frac{96}{5}\).

D. \(\frac{54 \sqrt{3}}{35}-\frac{26}{35}\).

Đáp án và lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l} \frac{1}{\sin ^{8} x}=\frac{1}{\sin ^{6} x} \cdot \frac{1}{\sin ^{2} x} \\\left.=\left(1+\cot ^{2} x\right)^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sin ^{2} x}\end{array}\]

Do đó: \(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{8} x}=I\)

\[=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(1+\cot ^{2} x\right)^{3} \cdot \frac{d x}{\sin ^{2} x}\]

Đặt \(t=\cot x=\gt d t=\frac{-d x}{\sin ^{2} x}\)

Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}=>t=1 \\ x=\frac{\pi}{6}=>t=\sqrt{3}\end{array}\right.\)

\[\begin{array}{l}=>I=\int_{\sqrt{3}}^{1}\left(1+t^{2}\right)^{3} \cdot(-d t)=\int_{1}^{\sqrt{3}}\left(1+t^{2}\right)^{3} d t \\=\int_{1}^{\sqrt{3}}\left(1+3 t^{2}+3 t^{4}+t^{6}\right) d t \\\lt =>I=\left.\left(t+t^{3}+\frac{3 t^{5}}{5}+\frac{t^{7}}{7}\right)\right|_{1} ^{\sqrt{3}} \\=\frac{534 \sqrt{3}}{35}-\frac{96}{35}\end{array}\]

Chọn B.

2. Lời kết

Qua bài trên, hy vọng bạn đã phần nào hiểu được dạng tích phân hàm lượng giác và cách làm bài. Nếu còn chưa chắc thì hãy đọc lại lý thuyết và làm bài tập lại một lần nữa để rút ra câu trả lời cho bản thân nhé.

3. Phương pháp học hiệu quả

Examon hy vọng sau khi tìm hiểu nhiều phương pháp khác nhau, bạn có thể tìm ra cho mình một phương pháp học hiệu quả. Không ai là giống ai, phương pháp này có thể phù hợp với người này nhưng chưa chắc đã phù hợp với người kia. Điều cần làm là tin vào bản thân và những gì mình cho là phù hợp, đó mới là bước đệm thành công, không chỉ riêng học tập mà trong cuộc sống cũng vậy.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!