Bài tập tích phân tổng hợp

1. Định nghĩa

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\).

• Giả sử \(\mathrm{F}(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).

• Hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a ; b]\) ) của hàm số \(f(x)\), ki hiệu là \(\int_{a}^{b} f(x) d x\).

• Ta còn dùng ki hiệu \(\left.F(x)\right|_{a} ^{b}\) để chỉ hiệu số \(F(b)-F(a)\)

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\(\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

Nhận xét:

• Tích phân của hàm số \(f\) từ \(a\) đến \(b\) có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hay \(\int_{a}^{b} f(t) d t\).

• Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

• Tức là: \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(t) d t=\int_{a}^{b} f(u) d u\)

• Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

2. Tính chất

Tính chất 1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)

Tính chất 2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

Tính chất 3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

Tính chất 4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

Tính chất 5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

Tính chất 6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

Tính chất 7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\]

\((k\) là hằng số\()\)

Tính chất 8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]

Tính chất 9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

Tính chất 10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

• Chú ý:

- Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\), tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).

4. Bài tập vận dụng.

4.1. Bài 1

Biết \(\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-2}{x+1} d x=\frac{-1}{m}+n \ln 2\), với \(m, n\) là các số nguyên. Tính \(m+n\).

A. \(S=1\).

B. \(S=4\).

C. \(S=-5\).

D. \(S=-1\).

Hướng dẫn giải:

\(\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-2}{x+1} d x=\int_{0}^{1}(x-1) d x\)

\(-\int_{0}^{1} \frac{d x}{x+1}=\left.\frac{(x-1)^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}\)

\(-\ln |x+1|_{0}^{1}=\frac{-1}{2}-\ln 2\)

\(\Rightarrow m=2, n=-1 \Rightarrow m+n=1\)

=> Chọn đáp án A.

4.2. Bài 2

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(2)=-\frac{1}{3}\) và \(f^{\prime}(x)=x[f(x)]^{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f(1)\) bằng:

A. \(f(1)=\frac{2}{3}\).

B. \(f(1)=\frac{3}{2}\).

C. \(f(1)=-\frac{2}{3}\).

D. \(f(1)=\frac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Từ \(f^{\prime}(x)=x[f(x)]^{2}(1)\),

suy ra \(f^{\prime}(x) \geq 0\) với mọi \(x \in[1 ; 2]\). Suy ra \(f(x)\) là hàm không giảm trên đoạn \([1 ; 2]\) nên \(f(x) \leq f(2)\lt 0, \forall x \in[1 ; 2]\).

Chia 2 vế hệ thức (1) cho \([f(x)]^{2}\) ta được \(\frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}=x, \forall x \in[1 ; 2]\).

Lấy tích phân 2 vế trên đoạn \([1 ; 2]\) hệ thức (2), ta được\(\int_{1}^{2} \frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}} d x=\left.\int_{1}^{2} x d x \Leftrightarrow\left[\frac{-1}{f(x)}\right]\right|_{1} ^{2}\)\(=\left.\left(\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{1} ^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{f(1)}-\frac{1}{f(2)}=\frac{3}{2}\).Do \(f(2)=-\frac{1}{3}\) nên suy ra \(f(1)=-\frac{2}{3}\).

=> Chọn đáp án C

4.3. Bài 3

Cho \(f(x), g(x)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \([-1 ; 1]\) và \(f(x)\) là hàm số chẵn, \(g(x)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int_{0}^{1} f(x) d x=5 ; \int_{0}^{1} g(x) d x=7\). Giá trị của \(A=\int_{-1}^{1} f(x) d x+\int_{-1}^{1} g(x) d x\) là:

A. 12 .

B. 24 .

C. 0 .

D. 10 .

Hướng dẫn giải:

Vì \(f(x)\) là hàm số chẵn nên :\(\int_{-1}^{1} f(x) d x=2 \int_{0}^{1} f(x) d x=2.5=10\)Vì \(g(x)\) là hàm số lẻ nên \(\int_{-1}^{1} g(x) d x=0\).

Vậy \(A=10\).

=> Chọn đáp án D

5. Bài tập vận dụng cao.

5.1. Bài tập 1.

Cho \(f(x)\) là hàm số chẵn trên đoạn \([-a ; a]\) và \(k\gt 0\). Giá trị tích phân \(\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\) bằng?

A. \(\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

B. \(\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

C. \(2 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

D. \(2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)

Xét tích phân \(\int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k^{k}}} \mathrm{~d} x\).

Đặt \(t=-x \Leftrightarrow x=-t\)

\(\Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x \Leftrightarrow-\mathrm{d} t=\mathrm{d} x\)

Đổi cận:

\(\begin{array}{l}x=-a \Rightarrow t=a \\x=0 \Rightarrow t=0\end{array}\)

Khi đó,

\(\int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{a}^{0} \frac{f(-t)}{1+\mathrm{e}^{k(-t)}}(-\mathrm{d} t)\)

\(=\int_{0}^{0} \frac{f(t)}{1+\mathrm{e}^{-k t}} \mathrm{~d} t \\=\int_{0}^{0} \frac{\mathrm{e}^{k t} \cdot f(t)}{1+\mathrm{e}^{k t}} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{0}^{0} \frac{\mathrm{e}^{k x} \cdot f(x)}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{k}}} \mathrm{d} x\\)

Do đó, \(\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{e}^{k x} \cdot f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{0}^{a} \frac{\left(\mathrm{e}^{k x}+1\right) f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\)

5.2. Bài tập 2

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(0)=3\) và \(f(x)+f(2-x)=x^{2}-2 x+2, \forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\) bằng?

A. \(\frac{-4}{3}\).

B. \(\frac{2}{3}\).

C. \(\frac{5}{3}\).

D. \(\frac{-10}{3}\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: \(\int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left.x f(x)\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)

Từ \(f(x)+f(2-x)\)

\(=x^{2}-2 x+2, \forall x \in \mathbb{R}(1)\)\(=\int_{0}^{2}\left(x^{2}-2 x+2\right) \mathrm{d} x\)

Thay \(x=0\) vào (1) ta được \(f(0)+f(2)=2\)

\(\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1\)

Xét \(I=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)

Đặt \(x=2-t \Rightarrow d x=-d t\), đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=2 \\ x=2 \Rightarrow t=0\end{array}\right.\)

Khi đó \(I=-\int_{2}^{0} f(2-t) d t=\int_{0}^{2} f(2-t) d t\)

\(\Rightarrow I=\int_{0}^{2} f(2-x) d x\)

Do đó ta có \(\int_{0}^{2}(f(x)+f(2-x)) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{2}\left(x^{2}-2 x+2\right) \mathrm{d} x\)

\(\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\frac{8}{3} \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{4}{3}\)

Vậy \(\int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

\(=\left.x f(x)\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)

\(=2 \cdot(-1)-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}\)

=> Chọn đáp án D.

Cách 2 .

Từ \(\left\{\begin{array}{c}f(x)+f(2-x)=x^{2}-2 x+2 \\ f(0)=3\end{array}\right.\)

Thay \(x=0 ; x=1\) vào (1) ta được \(f(2)=-1 ; f(1)=\frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) từ giả thiết trên ta có:

\(\left\{\begin{array}{c}c=3 \\ a+b+c=\frac{1}{2} \\ 4 a+2 b+c=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}c=3 \\ a=\frac{1}{2} \\ b=-3\end{array}\right.\right.\)

Vậy:

\(f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-3 x+3\)

\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=x-3\)

suy ra

\(\int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{2} x(x-3) \mathrm{d} x=-\frac{10}{3}\)

=> Chọn đáp án D.

Lời kết

Bài viết trên Examon đã tổng hợp một số bài tập tích phân từ vận dụng đến vận dụng cao giúp bạn tham khảo thêm về các dạng dạng bài tập của chương tích phân lớp 12. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn tham khảo một số phương pháp, cách giải bài tập tích phân để có thể áp dụng giải bài tập của bạn. Để học tốt chương Tích phân lớp 12 bạn cần phải học thuộc các phương pháp, các công thức và nắm được các kiến thức căn bản, trên hết bạn cần giải bài và luyện đề thật nhiều để nâng cao kiến thức của mình.

Bạn có biết vì sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không?

Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!