Bài tập phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

Bài 1: Tập nghiệm của phương trình: \(3 \sin ^{2} x\) \(2 \sqrt{3} \sin x \cos x-3 \cos ^{2} x=0\) là:

A. \(\left\{-\frac{\pi}{6}+k \pi, \frac{\pi}{3}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

B. \(\left\{-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, \frac{\pi}{3}+k 2 \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

C. \(\left\{-\frac{\pi}{6}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\)

D. \(\left\{\frac{5 \pi}{6}\right\}\)

Đáp án: A

Xét \(\cos x=0(1) \Leftrightarrow \sin x=0\) (vô lý do: \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\) )

Xét \(\cos x \neq 0\). 

Chia cả hai vế của (1) cho \(\cos ^{2} x\).

 Ta được\(3 \tan ^{2} x-2 \sqrt{3} \tan x-3=0\)

Bài 2: Phương trình \(3 \sin ^{2} x+m \sin 2 x-4 \cos ^{2} x=0\) có nghiệm khi:

A. \(m=4\)

B. \(m \geq 4\)

C. \(m \leq 4\)

D. \(m \in R\)

Đáp án: D

Xét \(\cos x=0\). Phương trình vô nghiệm

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\cos ^{2} x\) :

\(\Rightarrow \mathrm{PT}\) luôn có nghiệm với \(\forall \mathrm{m}\).

Bài tập 3: Nghiệm của phương trình \(\cos ^{2} x-\sqrt{ } 3 \sin 2 x=1+\) \(\sin ^{2} x\) là:

A. \(\left[\begin{array}{c}k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \frac{-\pi}{3}+k 2 \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{c}k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \frac{\pi}{3}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\)

C. \(\begin{array}{c}k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \frac{-\pi}{3}+k 2 \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\end{array}\)

D. \(\left[\begin{array}{c}k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \frac{-\pi}{3}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\)

Đáp án: D

Xét \(\cos x=0\). Phương trình vô nghiệm

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\cos ^{2} x\) ta có:

Bài 4: Số nghiệm của phương trình \(\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x\) \(+3 \cos ^{2} x=3\) thuộc khoảng \((0 ; 2 \pi)\) là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: C

Xét \(\cos x=0\). Phương trình vô nghiệm

Xét \(\cos x \neq 0\).

 Chia cả 2 vế của PT cho \(\cos ^{2} x\) ta có:

Bài 5: Nghiệm của phương trình \(-2 \sin ^{3} x+3 \cos ^{3} x-\) \(3 \sin x \cos 2 x-\sin ^{2} x \cos x=0\) là:

A. \(\left[\begin{array}{c} \pm \frac{\pi}{3}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \frac{\pi}{4}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\)

B. \(\quad \begin{array}{r}\frac{\pi}{3}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \frac{\pi}{4}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\end{array}\)

C. \(\left[\begin{array}{c}-\frac{\pi}{3}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \frac{\pi}{4}+k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{c} \pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \frac{\pi}{4}+k 2 \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\)

Đáp án: A

Xét \(\cos x=0\). Ta có (1) \(\Leftrightarrow-2 \sin ^{3} x+3 \sin x=0\)

Xét \(\cos x \neq 0\) chia hết cả 2 vế của (1) cho \(\cos ^{3} x\). 

Ta có

Bài 6: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình? \(\sin ^{2} x+\sqrt{3}\) \(\sin x \cos x=1\)

A. \(\cos x\left(\cot ^{2} x-3\right)=0\).

B. \(\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2-\sqrt{3}\right]=0\).

C. \(\left[\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-1\right](\tan x-\sqrt{3})=0\).

D. \(\left(\sin ^{2} x-1\right)(\cot x-\sqrt{3})=0\).

Đáp án: D

Bài 7: Cho phương trình \(\cos ^{2} x-3 \sin x \cos x+1=0\). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. \(x=k \pi\) không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho \(\cos ^{2} x\) thì ta được phương trình \(\tan ^{2} x-3 \tan x+2=0\).

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho \(\sin ^{2} x\) thì ta được phương trình \(2 \cot ^{2} x+3 \cot x+1=0\).

D. Phương trình đã cho tương đương với \(\cos 2 x\) \(3 \sin 2 x+3=0\)

Đáp án: C

Vậy câu A đúng

Xét câu B: Chia cho \(\cos ^{2} x\). 

Ta có phương trình\(\Leftrightarrow 1-3 \tan x+1 / \cos ^{2} x=0 \Leftrightarrow \tan ^{2} x-3 \tan x+2=0 . B\) đúng

Xét câu C. Chia cho \(\sin ^{2} x\) ta có

0. Sai

Bài 8: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(4 \sin ^{2} x+3 \sqrt{3} \sin 2 x-2 \cos ^{2} x=4\) là:

A. \(\pi / 12\).

B. \(\pi / 6\).

C. \(\pi / 4\).

D. \(\pi / 3\).

Đáp án: B

Xét \(\cos x=0\). PT \(\Leftrightarrow 4 \sin ^{2} x=4\)

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cho \(\cos ^{2} x\). 

Ta được :

\(\Leftrightarrow x=\pi / 6+k \pi\). 

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất : \(\pi / 6\).

Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \([-10 ; 10]\) để phương trình \(11 \sin ^{2} x+(m-\) 2) \(\sin 2 x+3 \cos ^{2} x=2\) có nghiệm?

A. 16

B. 21

C. 15

D. 6

Đáp án: A

Xét \(\cos x=0\). 

Khi đó PT \(\Leftrightarrow 11.1=2\) (vô lý)

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cho \(\cos ^{2} x\). 

Ta được :

Để pt có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta^{\prime}=(m-2)^{2}-9=m^{2}-4 m-5 \geq 0\)

Có 16 giá trị

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(\mathrm{m}\) để phương trình \(2 \sin ^{2} x+m \sin 2 x=2 m\) vô nghiệm.

A. \(0 \leq m \leq 4 / 3\).

B. \(m\lt 0, m\gt 4 / 3\).

C. \(0\lt \mathrm{m}\lt 4 / 3\).

D. \(m\lt -4 / 3, m>0\).

Đáp án: B

Xét \(\cos x=0 . P T \Leftrightarrow 2.1=2 m\). 

Phương trình có nghiệm \(m=1\)

Xét \(\cos x \neq 0\). 

Chia cho \(\cos ^{2} x\). Ta được :\((2-2 m) \tan ^{2} x+2 m \tan x-2 m=0\)\(\Leftrightarrow \Delta^{\prime}=m^{2}+2 m(2-2 m)=-3 m^{2}+4 m \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4 / 3\)\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm khi \(m\lt 0, m\gt 4 / 3\).