Bài tập phương pháp đổi biến số - Nguyên hàm

Tìm các nguyên hàm sau

1) \(I=\int \frac{d x}{e^{x}+2 e^{-x}-3}\)

2) \(J=\int \frac{e^{2 x}}{1+\sqrt{e^{x}+2}} d x\)

3) \(K=\int \sqrt{\frac{e^{x}+4}{4 e^{x}+1}} d x\)

đáp án:

1) Ta có: \(I=\int \frac{e^{x} d x}{e^{2 x}-3 e^{x}+2}\)

đặt \(t=e^{x} \Rightarrow d t=e^{x} d x\)

suy ra \(I=\int \frac{d t}{t^{2}-3 t+2}=\int \frac{d t}{(t-1)(t-2)}\)

\(=\ln \left|\frac{t-2}{t-1}\right|+C=\ln \left|\frac{e^{x}-2}{e^{x}-1}\right|+C\)

2) đặt

 \(t=\sqrt{e^{x}+2} \Rightarrow e^{x}=t^{2}-2 \Rightarrow e^{x} d x=2 t d t\)

\(J=\int \frac{\left(t^{2}-2\right) 2 t d t}{1+t}=2 \int\left(t^{2}-t-1+\frac{1}{t+1}\right) d t\)

\(=2\left(\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}-t+\ln |t+1|\right)+C\)

\(=2\left[\frac{\sqrt{\left(e^{x}+2\right)^{3}}}{3}-\frac{e^{x}+2}{2}-\sqrt{e^{x}+2}+\ln \left(\sqrt{e^{x}+2}+1\right)\right]+C\)

3) đặt \(t=\sqrt{\frac{e^{x}+4}{4 e^{x}+1}}\)

=> \(e^{x}=-\frac{t^{2}-4}{4 t^{2}-1} \Rightarrow e^{x} d x=-\frac{30 t}{\left(4 t^{2}-1\right)^{2}} d t\)

=> d\(x=\frac{30 t}{\left(t^{2}-4\right)\left(4 t^{2}-1\right)} d t\)

\(K=30 \int \frac{t^{2} d t}{\left(t^{2}-4\right)\left(4 t^{2}-1\right)}\)

\(-=2 \int\left(\frac{1}{t^{2}-4}-\frac{4}{4 t^{2}-1}\right) d t\)

\(=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t-2}{t+2}\right|-\ln \left|\frac{2 t-1}{2 t+1}\right|+C\),

với \(t=\sqrt{\frac{e^{x}+4}{4 e^{x}+1}}\).

Tìm nguyên hàm của 

1)\(I=\int \frac{\ln ^{2} x+1}{x} d x\) 

2) \(J=\int \frac{\ln x \cdot d x}{x(1+\sqrt{3 \ln x+2})} \quad\) 

3) \(K=\int \frac{\ln x \sqrt[3]{2+\ln ^{2} x}}{x} d x\)

đáp án:

1) đặt t=lnx => \(d t=\frac{d x}{x}\)

suy ra \(I=\int\left(t^{2}+1\right) d t=\left(\frac{t^{3}}{3}+t\right)+C\)

\(=\left(\frac{\ln ^{3} x}{3}+\ln x\right)+C\)

2) đặt t = \(\sqrt{3 \ln x+2} \Rightarrow \ln x=\frac{t^{2}-2}{3} \Rightarrow \frac{d x}{x}=\frac{2}{3} t d t\)

suy ra \(J=\int \frac{\frac{t^{2}-2}{3} \cdot \frac{2}{3} t d t}{1+t}\)

\(=\frac{2}{9} \int\left(t^{2}-t-1+\frac{1}{t+1}\right) d t=\frac{2}{9}\left(\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}-t+\ln (t+1)\right)+C\)

với t = \(\sqrt{3 \ln x+2}\)

3) đạt t \(t=\sqrt[3]{\ln ^{2} x+2}\)

=> \(\ln ^{2} x=t^{3}-2 \Rightarrow \frac{\ln x d x}{x}=\frac{3}{2} t^{2} d t\)

suy ra

 \(I=\frac{3}{2} \int t^{3} d t=\frac{3}{8} t^{4}+C=\frac{3}{8} \cdot \sqrt[3]{(3 \ln x+2)^{4}}+C\)

Tìm nguyên hàm 

1) \(I=\int \frac{d x}{2 \sin ^{2} x-3 \sin 2 x+2}\)

2) \(J=\int \frac{d x}{2 \cos x-\sin x+1}\)

đáp án:

1) ta có \(I=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{2 \sin ^{2} x-3 \sin x \cos x+\cos ^{2} x}\)

 \(=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\cos ^{2} x\left(2 \tan ^{2} x-3 \tan x+1\right)}\)

đặt t=tanx => dx = \(\frac{d t}{1+t^{2}}\)

ta được \(I=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{2 t^{2}-3 t+1}\)

\(=\frac{1}{2} \int \frac{(2 t-1)-2(t-1)}{(2 t-1)(t-1)} d t\)

\(=\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{2}{2 t-1}\right) d t\)

\(=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t-1}{2 t-1}\right|+C=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\tan x-1}{2 \tan x-1}\right|+C\)

2) đạt t = \(\tan \frac{x}{2} \Rightarrow d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}}\)

và \(\sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}}, \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\)

suy ra \(2 \cos x-\sin x+1=\frac{-t^{2}-2 t+3}{1+t^{2}}\)

\(J=-2 \int \frac{d t}{t^{2}+2 t-3}=-\frac{1}{2} \int \frac{(t+3)-(t-1)}{(t-1)(t+3)} d t\)

\(=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t+3}{t-1}\right|+C=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\tan \frac{x}{2}+3}{\tan \frac{x}{2}-1}\right|+C\)

1. Hiểu rõ lý thuyết cơ bản

Trước khi bắt tay vào giải các bài toán Nguyên hàm, hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ các khái niệm cơ bản, định nghĩa và tính chất của NH

2. Luyện tập thường xuyên

Luyện tập là yếu tố then chốt để nắm vững nguyên hàm. Hãy làm nhiều bài tập với các dạng khác nhau để rèn luyện kỹ năng và ghi nhớ các phương pháp tính toán. Bạn có thể bắt đầu với những bài tập cơ bản và sau đó chuyện sang dạng phức tạp hơn

3. Kiểm tra kết quả

Sau khi tính nguyên hàm, hãy luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách đạo hàm kết quả để xem có đúng với hàm ban đầu không. Điều này giúp bạn phát và sửa lỗi sai một cách kịp thời.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TOÁN HỌC yếu VĂN HỌC như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phầnVĂN HỌC giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu q

uả học.Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIEื̉M Số nhanh \(200 \%\)

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ Iỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách HỌC VÀ PHÁT TRIỂN thành công công nghệ gia sư AI Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon

Gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các Iỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIÊM SỐ mình mơ ước.