Bài tập Nguyên hàm và lý thuyết cơ bản

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x^{2}+\sin (3 x+1)\)

A. \(\frac{x^{3}}{3}+\frac{\cos (3 x+1)}{3}+C\).

B. \(\frac{x^{3}}{3}-\frac{\cos (3 x+1)}{3}+C\).

C. \(3 x^{2}+3 \cos (3 x+1)+C\).

D. \(x^{3}-3 \cos (3 x+1)+C\).

giải:

Ta có: \(\int\left[x^{2}+\sin (3 x+1)\right] d x\)

\(=\int x^{2} d x+\int \sin (3 x+1) d x\)

\(=\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{3} \int \sin (3 x+1) d(3 x+1)\)

\(=\frac{x^{3}}{3}-\frac{\cos (3 x+1)}{3}+C\)

=> chọn B

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+e^{-2 x}\)

A. \(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\).

B. \(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\).

C. \(2 \sqrt{x}+\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\).

D. \(2 \sqrt{x}-\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\).

giải:

Ta có: \(\int f(x)=\int \frac{d x}{\sqrt{x}}+\int e^{-2 x} d x\)

\(=2 \int \frac{d x}{2 \sqrt{x}}-\frac{1}{2} \int e^{-2 x} d(-2 x)\)

\(=2 \sqrt{x}-\frac{e^{-2 x}}{2}+C\)

\(=2 \sqrt{x}-\frac{1}{2 e^{2 x}}+C\)

=> chọn D

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=(2 x+1)^{2019}\)

A. \(\frac{(2 x+1)^{2020}}{2020}+C\).

B. \(\frac{(2 x+1)^{2020}}{4040}+C\).

C. \(\frac{(2 x+1)^{2020}}{1010}+C\).

D. \(4038(2 x+1)^{2018}+C\).

giải:

Ta có: \(\int f(x)=\int(2 x+1)^{2019} d x\)

\(=\frac{1}{2} \int(2 x+1)^{2019} d(2 x+1)\)

\(=\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 x+1)^{2020}}{2020}+C=\frac{(2 x+1)^{2020}}{4040}+C\).

=> chọn B

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x^{3}+x\) là:

A. \(x^{4}+x^{2}+C\).

B. \(3 x^{2}+1+C\).

C. \(x^{3}+x+C\).

D. \(\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+C\).

giải:

Ta có: \(\int f(x) d x=\int x^{3} d x+\int x d x\)

\(=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+C\).

=> chọn D

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2 \cos 3 x-3^{x-1}\) thỏa mãn F(0)=0. Tìm F(x)

A. \(F(x)=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x-1}}{\ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\).

B. \(F(x)=-\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x-1}}{\ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\).

C. \(F(x)=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{\ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\).

D. \(F(x)=-\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{\ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\).

giải:

Ta có\(: F(x)=\int f(x) d x=\int 2 \cos 3 x d x-\int 3^{x-1} d x\)

\(=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{1}{3} \int 3^{x} d x\)

\(=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{3 \ln 3}+C\)

Mặt khác: F(0)=0 => \(-\frac{1}{3 \ln 3}+C=0 \Leftrightarrow C=\frac{1}{3 \ln 3}\)

Vậy F(x)\(=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{3 \ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\)

=> chọn A

Cho F(x) là nguyên hàm của \(f(x)=e^{x}+2 x\) thỏa F(0)=\(=\frac{3}{2}\). .Tìm F(x)

A. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{3}{2}\).

B. \(F(x)=2 e^{x}+x^{2}-\frac{1}{2}\).

C. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{5}{2}\).

D. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{1}{2}\).

giải:

Ta có: F(x)= \(\int\left(e^{x}+2 x\right) d x=e^{x}+x^{2}+C\)

Mà F(0)=\(\frac{3}{2} \Rightarrow 1+C=\frac{3}{2} \Rightarrow C=\frac{1}{2}\)

=> \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{1}{2}\)

Cho hàm số f(x) xác định trên R \ \(\left\{\frac{1}{2}\right\}\)  và thỏa \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{2 x-1}, f(0)=1\) và \(f(1)=2\). Gía tri của biểu thứ f(-1) + f(3) bằng?

A. \(4+\ln 15\).

B. \(2+\ln 15\).

C. \(3+\ln 15\).

D. \(\ln 15\).

giải:

Ta có: \(\int f^{\prime}(x) d x=\ln |2 x-1|+C\left(x \neq \frac{1}{2}\right)\)

Hàm số gián đoạn tại điểm x=1/2

Nếu x>1/2 

=> f(x) \(=\ln (2 x-1)+C_{1}\) mà \(f(1)=2 \Rightarrow C_{1}=2\)

Vậy \(f(x)=\ln (2 x-1)+2\) khi x>1/2

Tương tự: f(x) = \(\ln (2 x-1)+C_{2}\) khi x<1/2 mà f(0)=1

=> C2=1

Do đó \(f(-1)+f(3)=\ln 3+1+\ln 5+2=\ln 15+3\)

=> chọn C

Cho hàm f(x) xác định trên R\\(\{-1\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{3}{x+1}\), f(0)=1 và f(1) + f(-2) =2. Gía trị f(-3) bằng?

A. \(1+2 \ln 2\).

B. \(1-\ln 2\).

C. 1 .

D. \(2+\ln 2\).

giải:

Ta có \(\int f^{\prime}(x) d x=3 \ln |x+1|+C \quad(x \neq-1)\)

Nếu x>-1 => f(x)=3ln(x+1) +C1

mà f(0)=1=>C1=1

Vậy f(x)=3ln(x+1)+1 khi x>-1

Tương tự f(x)=3ln(-x-1)+C2 khi x<-1

Do f(1)+f(-2)=2

=>3ln2+1+C2=2

=>C2+1-3ln2

Suy ra f(-3)= 3ln2+1-3ln2 = 1

=> chọn C

Biết rằng \(F(x)=\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{x}\)  là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\left(2 x^{3}+9 x^{2}-2 x+5\right) e^{x}\). Tính \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\)

A. 244 .

B. 247 .

C. 245 .

D. 246 .

giải:

Ta có F'(x) = \(\left(3 a x^{2}+2 b x+c\right) e^{x}+\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{x}\)

\(=\left[a x^{3}+(3 a+b) x^{2}+(2 b+c) x+c+d\right] e^{x}\)

Do đó \(\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ 3 a+b=9 \\ 2 b+c=-2 \\ c+d=5\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3 \\ c=-8 \\ d=13\end{array}\right.\)

=> \(t^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=246\)

=> chọn D

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3 x^{2}+1\)

A. \(x^{3}+C\)

B. \(\frac{x^{3}}{3}+x+C\)

C. \(6 x+C\)

D. \(x^{3}+x+C\)

giải:

\(\int\left(3 x^{2}+1\right) d x=x^{3}+x+C\).

=> chọN D

Tìm họ nguyên hàm của hàm số\(f(x)=7^{x}\)

A. \(\int 7^{x} d x=7^{x} \ln 7+C\)

B. \(\int 7^{x} d x=7^{x+1}+C\)

C. \(\int 7^{x} d x=\frac{7^{x}}{\ln 7}+C\)

D. \(\int 7^{x} d x=\frac{7^{x+1}}{x+1}+C\)

giải:

\(\int 7^{x} d x=\int \frac{7^{x}}{\ln 7}+C\)

=> chọn C

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\cos 3 x\)

A. \(\int \cos 3 x d x=3 \sin 3 x+C\)

B. \(\int \cos 3 x d x=\frac{\sin 3 x}{3}+C\)

C. \(\int \cos 3 x d x=\sin 3 x+C\)

D. \(\int \cos 3 x d x=\cos 3 x+C\)

giải:

\(\int \cos 3 x d x=\frac{\sin 3 x}{3}+C\)

=> chọn B

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2 \sin x\)

A. \(\int 2 \sin x d x=2 \cos x+C\)

B. \(\int 2 \sin x d x=\sin ^{2} x+C\)

C. \(\int 2 \sin x d x=\sin 2 x+C\)

D. \(\int 2 \sin x d x=-2 \cos x+C\)

giải: 

\(\int 2 \sin x d x=-2 \cos x+C\)

=> chọn D

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x)=f(x) với mọi x thuộc K

• Định lí 1

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

• Định lí 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số F(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số

Nếu F(x) và G(x) là hai hàm số liên tục thì 

TC1: \(\int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C\)

TC2: \(\int k \cdot f(x) d x=k \cdot \int f(x) d x\) với k là số thực khác 0

TC3: \(\int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x\)

NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

\(\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad(n \neq-1)\)

\(\int \sin x d x\) = -cosx + C

\(\int \cos x d x\) = sinx + C

\(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x\) = tanx + C

\(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x\) = -cotx + C

\(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\)

\(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)

\(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\)

NGUYÊN HÀM HỢP:

\(\int u^{n} d x=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C \quad(n \neq-1)\)

\(\int \sin u d u=-\cos u+C\)

\(\int \cos u d u=\sin u+C\)

\(\int \frac{1}{\cos ^{2} u} d u=\tan u+C\)

\(\int \frac{1}{\sin ^{2} u} d u=-\cot u+C\)

\(\int \frac{1}{u} d u=\ln |u|+C\)

\(\int e^{u} d u=e^{u}+C\)

\(\int a^{u} d u=\frac{a^{u}}{\ln a}+C\)

Đặc biệt: \(\int 0 d x=C ; \int d x=x+C\).