Bài tập nguyên hàm lượng giác

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = x + sinxsin2x.

Biết rằng f(0)=2. Gía trị của  \(\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) là:

A. \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{2}{3}\)

B. \(\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{8}{3}\)

C. \(\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{2}{3}\)

D. \(\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{8}{3}\)

giải

f(x)= \(\int f^{\prime}(x) d x=\frac{x^{2}}{2}+\int 2 \sin ^{2} x \cos x d x\)

= \(\frac{x^{2}}{2}+2 \int \sin ^{2} x d(\sin x)\)

=\(\frac{x^{2}}{2}+\frac{2 \sin ^{3} x}{3}+C\)

Lại có:

 \(\mathrm{f}(0)=\mathrm{C}=2 \Rightarrow \mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{8}{3}\). 

=> chọn B

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = \(\frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{5} x}\). Biết rằng f\(\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\). tính giá trị của \(f\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

A. \(f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0\)

B. \(\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{3}\right)=16\)

C. \(\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{3}\right)=4\)

D. \(f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\)

giải:

ta có

f(x) = \(\int f^{\prime}(x) d x=\int \frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{3} x} \cdot \frac{d x}{\cos ^{2} x}\)

= \(\int \tan ^{3} x d(\tan x)=\frac{\tan ^{4} x}{C}+C\)

lại có

\(\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 \Rightarrow \frac{1}{4}+C=2 \Rightarrow C=\frac{7}{4}\)

=> \(\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{9}{4}+\frac{7}{4}=4\)

Tìm nguyên hàm của  \(I=\int \frac{\sin 2 x d x}{(2+\sin x)^{2}}\)

A. \(I=2 \ln (2+\sin x)+\frac{4}{2+\sin x}+C\)

B. \(I=2 \ln (2+\sin x)+\frac{2}{2+\sin x}+C\)

C. \(I=\ln (2+\sin x)+\frac{2}{2+\sin x}+C\)

D. \(I=-2 \ln (2+\sin x)-\frac{4}{2+\sin x}+C\)

giải:

ta có

\(I=\int \frac{\sin 2 x d x}{(2+\sin x)^{2}}=\int \frac{2 \sin x \cos x d x}{(2+\sin x)^{2}}=\int \frac{2 \sin x d(\sin x)}{(2+\sin x)^{2}}\)

\(=\int \frac{2(2+\sin x)-4}{(2+\sin x)^{2}} d(\sin x)=\int\left[\frac{2}{2+\sin x}-\frac{4}{(2+\sin x)^{2}}\right] d(\sin x)\)

\(=2 \ln (2+\sin x)+\frac{4}{2+\sin x}+C\)

(do 2+ sinx > 0)

=> chọn A

Biết rằng I=\(\int \frac{\sin x \cos ^{2} x d x}{1+\cos x}\) = acosx + bcos2x - ln(1+cosx) +C (a;b thuộc R)

Gía trị của a+b là

A. \(a+b=-\frac{3}{4}\)

B. \(\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{5}{4}\)

C. \(a+b=\frac{3}{4}\)

D. \(\mathrm{a}+\mathrm{b}=-\frac{5}{4}\)

giải:

ta có 

\(I=-\int \frac{\cos ^{2} x d(\cos x)}{1+\cos x} \xrightarrow{t=\cos x}-\int \frac{t^{2} d t}{1+t}=\int\left(-t+1-\frac{1}{t+1}\right) d t\)

\(=-\frac{t^{2}}{2}+t-\ln |1+t|+C=-\frac{\cos ^{2} x}{2}+\cos x-\ln (1+\cos x)+C\)

\(=-\frac{1}{4} \cos 2 x+\cos x-\ln (1+\cos x)+C+\frac{1}{4}\)

do đó

\(\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=\frac{-1}{4} \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{3}{4}\)

=> ta chọn C

Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{(2 \sin \mathrm{x}+3 \cos \mathrm{x})^{2}}\) và \(\mathrm{F}(0)=\frac{5}{6}\). khi đó

A. \(F(x)=\frac{-1}{4 \tan x+6}+1\)

B. \(F(x)=\frac{1}{4 \tan x+6}+\frac{2}{3}\)

C. \(F(x)=\frac{-1}{2 \tan x+3}+\frac{7}{6}\)

D. \(F(x)=\frac{1}{2 \tan x+3}+\frac{1}{2}\)

giải:

ta có 

f(x) = \(\int \frac{d x}{(2 \sin x+3 \cos x)^{2}}=\int \frac{d x}{\cos ^{2} x(2 \tan x+3)^{2}}\)

= \(\int \frac{d(\tan x)}{(2 \tan x+3)^{2}}=-\frac{1}{2(2 \tan x+3)}+C\)

do 

F(0) = \(\frac{5}{6} \Rightarrow \frac{-1}{6}+C=\frac{5}{6} \Rightarrow C=1\)

=> \(\mathrm{F}(\mathrm{x})=\frac{-1}{4 \tan \mathrm{x}+6}+1\)

=> ta chọn A

Tính nguyên hàm của  \(\int \frac{\tan x}{\cos x \sqrt{1+\cos ^{2} x}} d x\)

A. \(I=\sqrt{\tan ^{2} x+2}+C\)

B. \(I=\sqrt{\cos ^{2} x+2}+C\)

C. \(I=\sqrt{\tan ^{2} x+1}+C\)

D. \(I=\sqrt{\cos ^{2} x+1}+C\)

giải

ta có 

\(I=\int \frac{\tan x d x}{\cos ^{2} x \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} x}+1}}=\int \frac{\tan x d x}{\cos ^{2} x \sqrt{\tan ^{2} x+2}}\)

\(\xrightarrow{t-\tan x} \int \frac{t d t}{\sqrt{2+t^{2}}}\)

\(=\frac{1}{2} \int \frac{d\left(t^{2}+2\right)}{\sqrt{t^{2}+2}}=\sqrt{t^{2}+2}+C=\)\(\sqrt{\tan ^{2} x+2}+C\)

=> chọn A

Xét các mệnh đề sau

(1). \(\int \frac{d x}{\sin \mathrm{x}}=\ln \left|\frac{\cos \mathrm{x}-1}{\cos \mathrm{x}+1}\right|+C\)

(2) \(\int \sin ^{6} x \cos x d x=\frac{\sin ^{7} x}{7}+C\)

(3) \(\int \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{4} x} d x=\frac{\tan ^{3} x}{3}+C\)

(4) \(\int \cos ^{3} x d x=-\sin x+\frac{\sin ^{3} x}{3}+C\)

Số mệnh đề đúng là ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

giải:

ta có

\(\int \frac{d x}{\sin x}=\int \frac{\sin x d x}{\sin ^{2} x}\)

\(\int \frac{d(\cos x)}{\cos ^{2} x-1}=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+C\)

\(\int \sin ^{6} x \cos x d x=\int \sin ^{6} x d(\sin x)=\frac{\sin ^{7} x}{7}+C\)

\(\int \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{4} x} d x=\int \tan ^{2} x \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} d x\)

\(\int \tan ^{2} x d(\tan x)=\frac{\tan ^{3} x}{3}+C\)

\(\int \cos ^{3} x d x=\int \cos ^{2} x d(\sin x)\)

\(\int\left(1-\sin ^{2} x\right) d(\sin x)=\sin x-\frac{\sin ^{3} x}{3}+C\)

vậy có 2 mệnh đề đúng

=> ta chọn B

Tính nguyên hàm của \(I=\int \frac{\tan ^{4} x}{\cos 2 x} d x\)

giải

ta có 

\(I=\int \frac{\tan ^{4} x}{\cos 2 x} d x=\int \frac{\tan ^{4} x d x}{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}\)

= \(\int \frac{\frac{\tan ^{4} x}{\cos ^{2} x}}{1-\tan ^{2} x} d x \xrightarrow{t=\tan x} I=\int \frac{t^{4} d t}{1-t^{2}}\)

\(=\int \frac{t^{4}-1+1}{1-t^{2}} d t=-\int\left(t^{2}+1+\frac{1}{t^{2}-1}\right) d t\)

= - \(\frac{t^{3}}{3}-t-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C\)

=> \(I=-\frac{\tan ^{3} t}{3}-\tan t-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\tan t-1}{\tan t+1}\right|+C\)

Tìm nguyên hàm của \(I=\int \frac{d x}{\sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x}\)

giải:

\(I=\int \frac{d x}{\sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x}=\int \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{4} x \cos ^{2} x} d x\)

= \(\int \frac{d x}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x}+\int \frac{d x}{\sin ^{4} x}\)

\(=\int \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x+\int \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{4} x} d x\)

\(=\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}+\frac{1}{\sin ^{2} x}\right) d x+\int\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}+\frac{1}{\sin ^{2} x} \cdot \cot ^{2} x\right) d x\)

= \(\tan x-2 \cot x-\int \cot ^{2} x d(\cot x)\)

= \(=\tan x-2 \cot x-\frac{\cot ^{3} x}{3}+C\)

Tìm nguyên hàm của I \(=\int \sin ^{4} x d x\)

\(I=\int \sin ^{4} x d x=\int\left(\sin ^{2} x\right)^{2} d x\)

\(=\int\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^{2} \mathrm{dx}\)

\(=\frac{1}{4} \int\left(1-2 \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x\right) d x\)

\(=\frac{1}{4} \int\left(1-2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right) d x\)

\(=\frac{1}{8} \int(3-4 \cos 2 x+\cos 4 x) d x\)

= \(\frac{3 x}{8}-\frac{\sin 2 x}{4}+\frac{\sin 4 x}{32}+C\)

= \(\frac{3 x}{8}-\frac{\sin 2 x}{4}+\frac{\sin 4 x}{32}+C\)

Giải các dạng toán nguyên hàm liên quan đến nguyên hàm lượng giác dòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các công thức cơ bản và kỹ thuật giải toán. 

Kinh nghiệm đầu tiên là bạn cần nắm vững các công thức nguyên hàm của các hàm lượng giác cơ bản như sin(x), cos(x), tan(x) và các hàm liên quan

Đổi biến số là một kỹ thuật hữu ích giúp đơn giản hóa biểu thức phức tạp

vd: khi gặp biểu thức dạng \(\int \sin (a x+b)\)dx, bạn có thể đặt u = ax+b để tính toán dễ dàng hơn

Phương pháp tích phân cũng rất quan trọng khi giải các bài toán tích của hai hàm, giúp phân rõ và giải quyết từng phần của biểu thức 

Ngoài ra, việc sử dụng công thức lượng giác để biến đổi và đơn giản hóa các hàm phức tạp thành các hàm đơn giản là một chiến lược hữu ích

Lời khuyên khi học toán là hãy kiên trì và không ngại thực hành. Toán học đòi hỏi sự luyện tập đều đặn, vì vậy hãy dành thời gian mỗi ngày để giải một vài bài toán

Sử dụng bảng nguyên hàm để tra cứu nhanh các công thức và giúp tiết kiệm thời gian

Hơn nữa, đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn, hãy  thảo luận và học hỏi từ người khác là một cách hiệu quả để củng cố kiến thức

Cuối cùng, hãy luôn tư duy logic và sáng tạo khi tiếp cận các bài toán, vì toán học không chỉ là việc giải đúng, mà còn về cách tìm ra những phương pháp hay và đẹp

Việc đi học thêm 1 Iớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TíCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTơ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIẺM SỐ nhanh \(200 \%\)

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, 

gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa vể hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIEึ̉M SỐ mình mơ ước.

NHỮNG Lợ ÍCH MÀ HỆ THỐNG CÁ NHÂN HÓA VIỆC HỌC CỦA EXAMON MANG LẠI

1: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng Tự học: 1 kỹ năng sẽ sử dụng cho việc phát triển bản thân suốt đời

2: Giúp học sinh hình thành Tư duy giải bài trước khi giải: Đây là kỹ năng giải quyết vấn đề giúp hs tự tin và có chính kiến của riêng mình

3: Công nghệ Al phân tích năng lực học sinh đề xuất hs Luyện tập những chỗ sai rút ngắn thời gian cải thiện điểm số: Hệ thống \(\mathrm{AI}\) bên dưới giúp phát hiện năng lực học sinh một cách chính xác từ đó có kế hoạch cải thiện năng lực nhanh chóng\(x\)