Bài tập Nguyên hàm kèm lời giải chi tiết

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=4^{x}\) thỏa mãn \(F(1)=\frac{2}{\ln 2}\). Tìm \(F(2)\).

A. \(F(2)=\frac{9}{\ln 2}\)

B. \(F(2)=\frac{3}{\ln 2}\)

C. \(F(2)=\frac{8}{\ln 2}\)

D. \(F(2)=\frac{7}{\ln 2}\)

giải:

\(F(x)=\int 4^{x} d x=\frac{4^{x}}{\ln 4}+C\)

mà \(F(1)=\frac{3}{\ln 2} \Rightarrow C=\frac{1}{\ln 2}\)

=> \(C=\frac{1}{\ln 2} \Rightarrow F(x)=\frac{4^{x}}{\ln 4}+\frac{1}{\ln 2}\)

Do đó ta suy ra:

\(F(2)=\frac{4^{2}}{\ln 4}+\frac{1}{\ln 2}=\frac{9}{\ln 2}\).

Biết rằng F(x) là nguyên hàm của \(f(x)=e^{2 x}\) F(0)=3/2. Tìm F(1/2)?

A. \(F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} e+2\)

B. \(F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} e+1\)

C. \(F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} e+\frac{1}{2}\)

D. \(F\left(\frac{1}{2}\right)=2 e+1\)

giải:

\(F(x)=\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C\)

mà \(F(0)=\frac{3}{2} \Rightarrow C=1 \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2} e^{2 x}+1\)

Do đó suy ra \(F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} e+1\)

Cho biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tìm \(I=\int(3 f(x)+1) d x\)

A. \(I=3 F(x)+1+C\)

B. \(I=3 x F(x)+1+C\)

C. \(I=3 x F(x)+x+C\)

D. \(I=3 F(x)+x+C\)

giải:

\(I=3 \int f(x) d x+\int d x\)

\(=3 F(x)+x+C\).

Cho hàm số f(x) xác định trên R\ \(\left\{\frac{1}{2}\right\}\) thỏa \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{2 x-1} ; f(0)=1\) và \(f(1)=2\). Tính \(P=f(-1)+f(3)\)

A. \(P=4+\ln 15\)

B. \(P=2+\ln 15\)

C. \(P=3+\ln 15\)

D. \(P=\ln 15\)

giải:

\(f(x)=\int \frac{2}{2 x-1} d x=\ln |2 x-1|+C\)

• Trên \(\left(\frac{1}{2} ;+\infty\right) \Rightarrow f(x)=\ln (2 x-1)+C_{1}\)

=> \(f(1)=C_{1}=3 \Rightarrow f(3)=2+\ln 5\)

• Trên \(\left(-\infty ; \frac{1}{2}\right) \Rightarrow f(x)=\ln (1-2 x)+C_{2}\)

=> \(f(-1)=1+\ln 3 \Rightarrow P=3+\ln 15\)

Biết f(x)\(=\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{-x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x)=x(1-x) e^{-x}\). Tính S=a+2b+2015c

A. \(S=2019\)

B. \(S=2018\)

C. \(S=-2017\)

D. \(S=2017\)

giải:

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

=> f(x)= F'(x)

Ta có: \(F^{\prime}(x)=(2 a x+b) e-\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{-x}\)

\(=\left[-a x^{2}+(2 a-b) x+b-c\right] e^{-x}\)

mà \(f(x)=\left(-x^{2}+x\right) e^{-x}\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}-a=-1 \\ 2 a-b=1 \\ b-c=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=1 \\ c=1\end{array}\right.\right.\)

Vậy S=2018

Gỉa sử F(x) là một nguyên hà mcuar hàm số f(x)=4x-1. Đồ thị hàm số y=F(x) và y=f(x) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tim tọa độ điểm chung của 2 đồ thị y=F(x) và y=f(x)

A. \((0 ;-1)\) và \(\left(\frac{5}{2} ; 3\right)\)

B. \((0 ;-1)\) và \(\left(\frac{5}{2} ; 8\right)\)

C. \((0 ;-2)\) và \(\left(\frac{8}{3} ; 14\right)\)

D. \((0 ;-1)\) và \(\left(\frac{5}{2} ; 9\right)\)

giải:

\(F(x)=\int f(x) d x=\int(4 x-1) d x\)

 \(=2 x^{2}-x+C\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_{1}\right) ;\left(C_{2}\right)\) là 

\(2 x^{2}-x+C=4 x-1\)

<=> \(2 x^{2}-5 x+C+1=0\)

mà c1 cắt c2 tại điểm thuộc \(O y \rightarrow x=0 \Rightarrow C=-1\)

do đó \(2 x^{2}-5 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \rightarrow y(0)=-1 \\ x=\frac{5}{2} \Rightarrow y\left(\frac{5}{2}\right)=9\end{array}\right.\)

Vậy tọa độ cần tìm là  \((0 ;-1)\) và \(\left(\frac{5}{2} ; 9\right)\)

Cho hai hàm số \(F(x)=a x^{3}+(a+b) x^{2}+(2 a-b+c) x+1\) và \(f(x)=3 x^{2}+6 x+2\). Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính tổng S=a+b+c?

A. S=5

B. S=4

C. S=3

D. S=2

giải:

\(\int f(x) d x=\int\left(3 x^{2}+6 x+2\right) d x\)

\(=x^{3}+3 x^{2}+2 x+C\)

mà \(F(x)=a x^{3}+(a+b) x^{2}+(2 a-b+c) x+1\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}a=1 ; a+b=3 \\ 2 a-b+c=2 ; C=1\end{array}\right.\)

<=> \(\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=2 . \\ c=2\end{array}\right.\)

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sqrt[3]{x-2}\) thỏa F(3)=4/7. Tính giá trị biểu thức \(T=2^{\log _{1: 3} \mid F(10 \mid}+3^{\log _{13}|F(-6)|}\)

A. T=2

B. T=3

C. T=5

D. T=10

giải:

\(F(x)=\int f(x) d x=\int \sqrt[3]{x-2} d x\)

\(=\frac{3}{4} \sqrt[3]{(x-2)^{4}}\)

mà \(F(3)=\frac{7}{4} \rightarrow C=1\)

khi đó \(F(x)=\frac{3}{4} \sqrt[3]{(x-2)^{4}}+1 \rightarrow T=5\)

Gọi F(x) là nguyên hàm của \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+1}}\) thỏa F(0)=0.

Biết phương trình f(x)+1=x có 1 nghiệm duy nhất dạng x=\(\frac{a+\sqrt{b}}{2}\) với a, b nguyên dương. Tính a+b

A. \(a+b=2\)

B. \(a+b=7\)

C. \(a+b=5\)

D. \(a+b=6\)

giải:

\(F(x)=\int f(x) d x=\int \frac{d x}{\sqrt{2 x+1}}=\sqrt{2 x+1}+C\)

mà F(0)=0 => C=1

khi đó \(F(x)=\sqrt{2 x+1}-\)1

nên \(F(x)+1=x \Leftrightarrow x=\sqrt{x+1}\)

<=>  \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{a+\sqrt{b}}{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=5\end{array}\right.\)

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^{3 x+1}\) thỏa mãn \(F(0)=\frac{1}{3}\). Tính \(\ln ^{3}[3 F(1)]\)

A. \(\ln ^{3}[3 F(1)]=64\)

B. \(\ln ^{3}[3 F(1)]=-8\)

C. \(\ln ^{3}[3 F(1)]=81\)

D. \(\ln ^{3}[3 F(1)]=27\)

giải:

\(F(x)=\int f(x) d x=\int e^{3 x+1} d x=\frac{1}{3} e^{3 x+1}+C\)

mà F(0)=1/3 => C=0

do đó \(F(x)=\frac{1}{3} e^{3 x+1} \rightarrow F(1)=\frac{e^{4}}{3}\)

=> \(3 F(1)=e^{4} \Rightarrow \ln ^{3}[3 F(1)]=\ln ^{3} e^{4}=64\)

Tìm nguyên hàm của \(f(x)=4^{x} \cdot 2^{2 x+3}\) thỏa mãn \(F(0)=\frac{2}{\ln 2}\). Tính giá trị biểu thức \(A=\frac{|\ln 2 F(1)|^{3}}{2^{10}}\) 

A. \(A=1\)

B. \(A=8\)

C. \(A=16\)

D. \(A=32\)

giải:

\(: f(x)=2^{2 x} \cdot 2^{2 x+3}=2^{4 x+3}\)

=> \(F(x)=\int 2^{4 x+3} d x=\frac{2^{4 x+3}}{\ln 2}+C\)

mà \(F(0)=\frac{2}{\ln 2} \rightarrow C=0\)

do đó \(F(x)=\frac{2^{4 x+3}}{\ln 2}=\frac{2^{5}}{\ln 2}\)

=> A=32

Cho f'(x)=2x+1 và f(1)=5. Phương trình f(1)=5 có hai nghiệm x1,x2.Tính tổng 

A. S=0

B. S=1

C. S=2

D. S=3

giải:

\(f(x)=\int f^{\prime}(x) d x=\int(2 x+1) d x=x^{2}+x+C\)

mà f(1)=5 => c=3

do đó \(f(x)=x^{2}+x+3=5 \Leftrightarrow x^{2}+x-2=0\)

tương đương \(\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=-2\end{array}\right.\)

vậy S=1

F(x) là nguyên hàm của \(f(x)=(1-x) \ln \left(x^{2}+1\right)\). Hỏi F(x) có bao nhiêu điểm cực trị

A.0

B.1

C.2

D.3

giải:

\(F^{\prime}(x)=f(x)=(1-x) \ln \left(x^{2}+1\right)\)

<=> \(\left[\begin{array}{l}1-x=0 \\ x^{2}=0\end{array}\right.\)

Mà F'(x) không đổi dấu khi đi qua x=0

=> x=1 là điểm cực trị

F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\left(x^{2}-x-1\right)(1+\cos 2 x)\). Hỏi F(x) có bao nhiêu cực trị

A. vô số

B. 1

C. 2

D. 3

giải:

\(F^{\prime}(x)=f(x)=\left(x^{2}-x-1\right)(1+\cos 2 x)\)

<=> \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ \cos 2 x=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ x=\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\right.\)

mà F(x) không đổi dấu khi đi qua \(x=\frac{\pi}{2} \rightarrow F^{\prime}(x)=0\)

=> x\(=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\).

vậy hàm số có 2 cực trị

F(x) là nguyên hàm của \(f(x)=25^{x}-2017.5^{x}+2018\). Hỏi F(x) có bao nhiêu điểm cực trị

A.0

B.1

C.2

D.3

giải:

\(F^{\prime}(x)=f(x)=25^{x}-2017.5^{x}+2018\) có 2 nghiệm phân biệt

=> hàm số F(x) có 2 điểm cực trị

Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x\left(\log ^{2} x-\log x^{3}-3\right)\). Hỏi F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A.0

B.1

C.2

D.3

giai:

\(F^{\prime}(x)=f(x)=x \cdot\left[(\log x)^{2}-3 \cdot \log x-3\right]\)

<=>\(\left\{\begin{array}{l}x\gt 0 \\ \log x=\frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}\end{array}\right.\)

Hệ phương trình có hai nghiệm

=> có điểm hai cực trị

Gỉa sử một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2}}\) có dạng \(A \sqrt{1-x^{3}}+\frac{B}{1+\sqrt{x}}\). Tìm A+B=?

A. -2

B. 8/3

C. 2

C. 8/3

giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x)

=> f(x)=F'(x)

Ta có: \(F^{\prime}(x)=-3 A \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{3}}}+\left(-\frac{B}{2}\right) \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2}}\)

mà \(f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2}}\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}-3 A=1 \\ -\frac{B}{2}=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=-\frac{1}{3} \\ B=-2\end{array}\right.\right.\)

Vậy \(A+B=-\frac{1}{3}-2=-\frac{8}{3}\).

Gọi F(x)=\(\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{x}\) là nguyên hàm của \(f(x)=\left(2 x^{3}+9 x^{2}-2 x+5\right) e^{x}\). Tính \(T=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\)

A. 244

B. 245

C. 246

D.247

giải:

Ta có : \(F^{\prime}(x)=\left(a x^{3}+(3 a+b) x^{2}+(2 b+c) x+d\right) e^{x}\)

mà \(f(x)=\left(2 x^{3}+9 x^{2}-2 x+5\right) e^{x}\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}a=2 ; 3 a+b=9 \\ 2 b+c=-2 ; d=5\end{array}\right.\)

<=> \(\left\{\begin{array}{l}a=2 ; b=3 \\ c=-8 ; d=5\end{array}\right.\).

vậy T=246

\(F(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{x}\) là nguyên hàm của \(f(x)=x^{2} e^{x}\). Tìm a,b,c

A. \(a=1, b=2, c=-2\)

B. \(a=2, b=1, c=-2\)

C. \(a=-2, b=2, c=1\)

D. \(a=1, b=-2, c=2\)

giải:

Ta có \(F^{\prime}(x)=(2 a x+b) e^{x}+\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{x}\)

\(=\left(a x^{2}+(2 a+b) x+b+c\right) e^{x}\)

mà \(f(x)=x^{2} e^{x} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ 2 a+b=0 \\ b+c=0\end{array}\right.\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2 \\ c=2\end{array}\right.\)

Xác định hệ số a, b, c để hàm số \(F(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{-x}\) là mọt nguyên hàm của \(f(x)=\left(x^{2}-3 x+2\right) e^{-x}\).

A. \(a=-1, b=1, c=-1\)

B. \(a=-1, b=-5, c=-7\)

C. \(a=1, b=-3, c=2\)

D. \(a=1, b=-1, c=1\)

giải:

Ta có:  \(F^{\prime}(x)=(2 a x+b) e^{-x}-\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{-x}\)

= \(\left(-a x^{2}+(2 a-b) x+b-c\right) e^{-x}\)

mà \(f(x)=\left(x^{2}-3 x+2\right) e^{-x}\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}-a=1 \\ 2 a-b=3 \\ b-c=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=1 \\ c=-1\end{array}\right.\right.\)

Hãy lướt xuống và xem những gì đang chờ đón các bạn học sinh nha.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TíCH \(\mathrm{PHÂN}\) yếu VĂN HỌC như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VĂN HỌC 

Giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIÊM SỐ nhanh \(200 \%\)

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện cách tự học : Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đợi ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống để thi Examon, gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh 

Từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIÊM SỐ mình mơ ước.