Bài tập nguyên hàm có chọn lọc

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

a. 1/x +C là họ nguyên hàm của ln x trên (0;+\(\infty\))

b. 3x^2 là một nguyên hàm của x^3 trên (-\(\infty\);+\(\infty\))

c. hàm số y=1/x có nguyên hàm trên (-\(\infty\);+\(\infty\))

d. hàm số y= \(|x|\) có nguyên hàm trên (-\(\infty\);+\(\infty\))

chọn D

đáp án D đúng với mọi x

Tính nguyên hàm F(x) \(=\int \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}\)dx

A. \(F(x)=\ln \left(1+\mathbf{e}^{x}\right)-x+c(c \in \mathbb{R})\).

B. \(F(x)=x-\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)+c(c \in \mathbb{R})\).

C. \(F(x)=x+\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)-1+c(c \in \mathbb{R})\).

D. \(F(x)=1-\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)+c(c \in \mathbb{R})\).

chọn B

ta có F(x) = \(\int \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}\)dx

\(=\int \frac{\mathrm{e}^{x}+1-\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x=\int\left(1-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}\right) \mathrm{d} x\)

= \(x-\int \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)}{\mathbf{e}^{x}+1}=x-\ln \left(\mathrm{e}^{x}+1\right)+c(c \in \mathbb{R})\)

Nguyên hàm của hàm số f(x)=sinxcosx là:

A. \(\frac{1}{4} \cos 2 x+C\).

B. \(-\sin x \cos x\).

C. \(\frac{1}{4} \sin 2 x+C\).

D. \(-\frac{1}{4} \cos 2 x+C\).

chọn D

\(\int\)sinxcosxdx= \(=\int \frac{\sin 2 x \mathrm{~d} x}{2}=-\frac{\cos 2 x}{4}+C\).

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = \(e^{x}\) - 2x là

A. \(e^{x}-2 x^{2}+C\).

B. \(e^{x}-2+C\).

C. \(e^{x}-x^{2}+C\).

D. \(e^{x}-\frac{x^{2}}{2}+C\).

chọn C

ta có \(\int\)f(x)dx = \(\int\left(e^{x}-2 x\right) d x=e^{x}-x^{2}+C\)

Tính nguyên hàm A=\(\int \frac{1}{x \ln x}\)dx bằng cách đặt t = lnx. mệnh đề nào dưới đây dúng

A. \(A=\int \frac{1}{t} \mathrm{~d} t\).

B. \(A=\int \frac{1}{t^{2}} \mathrm{~d} t\).

C. \(A=\int t \mathrm{~d} t\).

D. \(A=\int \mathrm{d} t\).

chọn A

đặt t = lnx => dt = 1/x dx

Khi đó A=\(=\int \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{t} \mathrm{~d} t\)

Mệnh đề nào dưới đây là đúng/

A. \(\int k f(x) \mathrm{d} x=k \int f(x) \mathrm{d} x, k \in \mathbb{R}\).

B. \(\int(f(x)+g(x)) \mathrm{d} x=\int f(x) \mathrm{d} x+\int g(x) \mathrm{d} x\)

C. \(\int \alpha f(x) \mathrm{d} x=\alpha+\int f(x) \mathrm{d} x\).

D. \(\int f(x) \cdot g(x) \mathrm{d} x=\int f(x) d x \cdot \int g(x) \mathrm{d} x\).

chọn D

Mệnh đề đúng:

 \(\int(f(x)+g(x)) \mathrm{d} x=\int f(x) \mathrm{d} x+\int g(x) \mathrm{d} x\).

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = xcos2x là

A. \(\frac{x \sin 2 x}{2}+\frac{\cos 2 x}{4}+C\).

B. \(x \sin 2 x-\frac{\cos 2 x}{2}+C\).

C. \(x \sin 2 x+\frac{\cos 2 x}{2}+C\).

D. \(\frac{x \sin 2 x}{2}-\frac{\cos 2 x}{4}+C\).

chọn A

I= \(\int\)xcos2xdx

đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ \mathrm{~d} v=\cos 2 x \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{2} \sin 2 x\end{array}\right.\right.\).

Khi đó

I= \(\frac{1}{2} x \sin 2 x-\frac{1}{2} \int \sin 2 x \mathrm{~d} x\)

= \(\frac{1}{2} x \sin 2 x+\frac{1}{4} \cos 2 x+C\).

.

Hàm số F(x) nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) \(=\frac{4}{\cos ^{2} x}\)

A. \(F(x)=\frac{4 x}{\sin ^{2} x}\).

B. \(F(x)=4 \tan x\).

C. \(F(x)=4 x+\frac{4}{3} \tan ^{3} x\).

D. \(F(x)=4+\tan x\).

chọn B

ta có

 \(\int \frac{4}{\cos ^{2} x} d x=4 \cdot \int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x\) = 4tanx

Khi tính nguyên hàm \(\int \frac{x-3}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x\), đặt \(u=\sqrt{x+1}\) ta được nguyên hàm nào?

A. \(\int\left(u^{2}-3\right) \mathrm{d} u\).

B. \(\int 2\left(u^{2}-4\right) \mathrm{d} u\).

C. \(\int 2 u\left(u^{2}-4\right) \mathrm{d} u\).

D. \(\int\left(u^{2}-4\right) \mathrm{d} u\).

chọn B

đặt u =\(\sqrt{x+1}, u \geq 0\) 

nên \(u^{2}=x+1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} x=2 u \mathrm{~d} u \\ x=u^{2}-1\end{array}\right.\).

khi đó

 \(\int \frac{x-3}{\sqrt{r+1}} \mathrm{~d} x=\int \frac{u^{2}-1-3}{u} \cdot 2 u \mathrm{~d} u=\int 2\left(u^{2}-4\right) \mathrm{d} u\).

Tìm nguyên hàm của I = \(\int \frac{(x+1)}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} \mathrm{~d} x\) bằng phương pháp đặt \(t=\sqrt{x^{2}+2 x+3}\).

A. \(F(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+2 x+3}+C\).

B. \(F(x)=\ln \frac{|x+1|}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}+C\).

C. \(F(x)=\sqrt{x^{2}+2 x+3}+C\).

D. \(F(x)=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+2 x+3\right)+C\).

chọn C

đặt t = \(\sqrt{x^{2}+2 x+3} \Rightarrow t^{2}=x^{2}+2 x+3\)

=> 2tdt = 2(x+1)dx

=> (x+1)dx=tdt

do đó 

F(x) \(\int \frac{(x+1) \mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}=\int \frac{t \mathrm{~d} t}{t}=t+C=\sqrt{x^{2}+2 x+3}+C\).

Tìm nguyên hàm I = \(\int \frac{d x}{e^{x}}\). Bằng cách đặt t = \(e^{x}\), chọn mệnh đề đúng

A. \(I=-e^{x}+C\).

B. \(I=e^{x}+C\).

C. \(I=\frac{1}{e^{x}}+C\).

D. \(I=-\frac{1}{e^{x}}+C\).

chọn D

đặt t = \(e^{x}\)=> dt = \(e^{x}\)dx

I = \(\int \frac{d x}{e^{x}}=\int \frac{e^{x} d x}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\int \frac{d t}{t^{2}}=-\frac{1}{t}+C=-\frac{1}{e^{x}}+C\)

Hàm số F(x)=\(\frac{1}{3} x^{3}\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên \((-\infty ;+\infty)\) ?

A. \(f(x)=x^{2}\).

B. \(f(x)=x^{3}\).

C. \(f(x)=\frac{1}{4} x^{4}\).

D. \(f(x)=3 x^{2}\).

chọn A

gọi F(x) =\(\frac{1}{3} x^{3}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

=> F'(x) = f(x) 

=> f(x)=x^2

Nếu hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì khẳng định nào sau đây đúng?

a. F(x)=f(x)

b. F(x)=f(x)+C

c. f'(x)=F(x)

d. F(x)=f(x)

chọn A

mệnh đề đúng : F'(x) = f(x)

Hàm số f(x)=(x+1)sinx có các nguyên hàm là

a. F(x)=-(x+1)cosx+sinx+C

b. F(x)=(x+1)cosx+sinx+C

c. F(x)=-(x+1)cosx-sinx+C

d. F(x)=-(x+1)cosx-sinx+C

chọn A

đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x+1 \\ \mathrm{~d} v=\sin x \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.\)

do đó

 \(\int(x+1) \sin x d x=-(x+1) \cos x+\int \cos x d x\)

= \(-(x+1) \cos x+\sin x+C\)

Tính \(\int(x-1) e^{x}\)dx

A. \((x-1) e^{x}+e^{x}+C\).

B. \((x-2) e^{x}+C\).

C. \(x e^{x}-e^{x}+C\).

D. \(x e^{x}+C\).

chọn B

đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x-1 \\ d v=e^{x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)

do đó

\(\int(x-1) e^{x} d x=(x-1) e^{x}-\int e^{x} d x\)

 \(=(x-1) e^{x}-e^{x}+C=(x-2) e^{x}+C\)

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(5^{2 x}\)

A. \(\int 5^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{25^{x}}{2 \ln 5}+C\).

B. \(\int 5^{2 x} \mathrm{~d} x=2.5^{2 x} \ln 5+C\).

C. \(\int 5^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{25^{x+1}}{x+1}+C\).

D. \(\int 5^{2 x} \mathrm{~d} x=2 \cdot \frac{5^{2 x}}{\ln 5}+C\).

chọn A

ta có

 \(\int 5^{2 x} \mathrm{~d} x=\int 25^{x} \mathrm{~d} x=\frac{25^{x}}{\ln 25}+C=\frac{25^{x}}{2 \ln 5}+C\).

Xét I = \(\int \frac{1}{3+\sqrt{2 x+1}} d x\), đặt \(u=\sqrt{2 x+1}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng

a. I=u-3ln3+C

b. I=u-3+C

c. I=u-3ln(3+u)+C

d. I=u-3lnu+C

chọn C

đặt u =  \(\sqrt{2 x+1} \Rightarrow u^{2}\) = (2x+1)

=> udu=dx

vậy I=\(\int \frac{u}{3+u} \mathrm{~d} u=\int\left(1-\frac{3}{3+u}\right) \mathrm{d} u\)

=-3ln(3+u)+C

Phát biểu nào sau đây là đúng?

a. \(\int\)f'(x)dx=f(x)+C

b. \(\int\)f'(x)dx=a.f(ax+b)+C

c. \(\int\)f'(ax+b)dx=1/a f(x)+C

d. \(\int\)f'(x)dx=f''(x)+C

chọn A

\(\int\)f'(x)dx=f(x)+C

Họ nguyên hàm của hàm sồ f(x)=\(\frac{x^{2}+2 x-3}{(x+1)^{2}}\) là

A. \(x-4 \ln |x+1|+C\).

B. \(\frac{1}{2} x^{2}+x+\frac{4}{x+1}+C\).

C. \(x-\frac{4}{x+1}+C\).

D. \(x+\frac{4}{x+1}+C\).

chọn D

xét \(\int \frac{x^{2}+2 x-3}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{(x+1)^{2}-4}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x\)

= \(\int 1-\frac{4}{(x+1)^{2}} \int \mathrm{d} x=x+\frac{4}{x+1}+C\).

Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)= sin5xsin2x thì

A. \(F(x)=\frac{\cos 3 x}{6}+\frac{\cos 7 x}{14}+C\).

B. \(F(x)=\frac{\sin 3 x}{6}-\frac{\sin 7 x}{14}+C\).

C․ \(F(x)=\frac{\cos 3 x}{6}-\frac{\cos 7 x}{14}+C\).

D. \(F(x)=\frac{\sin 3 x}{6}-\frac{\cos 7 x}{14}+C\).

chọn B

ta có 2f(x)=2sin5xsin2x

=cos(5-2)x + cos(5+1)x

=cos3x-cos7x

=> \(2 \int f(x) d x=\frac{\sin 3 x}{3}-\frac{\sin 7 x}{7}+C\)

<=> \(\int f(x) d x=\frac{\sin 3 x}{6}-\frac{\sin 7 x}{14}+C\).

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A. \(F^{\prime}(x)=-f(x), \forall x \in K\).

B. \(f^{\prime}(x)=-F(x), \forall x \in K\).

C. \(F^{\prime}(x)=f(x), \forall x \in K\).

D. \(f^{\prime}(x)=F(x), \forall x \in K\).

chọn  C

theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x)=f(x) \(\forall x \in K\).

Nguyên hàm \(\int \sin ^{2} 2 x d x\) là

A. \(\frac{1}{3} \sin ^{3} 2 x+C\).

B. \(\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} \sin 4 x+C\).

C. \(\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \sin 4 x+C\).

D. \(\frac{1}{2} x+\frac{1}{8} \sin 4 x+C\).

chọn B

ta có:

\(\int \sin ^{2} 2 x d x=\int \frac{1-\cos 4 x}{2} d x\)

= \(\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+C=\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} \sin 4 x+C\).

Tính \(\int x \sin 2 x \mathrm{~d} x\).

A. \(-\frac{1}{2} x \cos 2 x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C\).

B. \(-\frac{1}{2} x \cos 2 x-\frac{1}{2} \sin 2 x+C\)

C. \(-x \cos 2 x+\sin 2 x+C\).

D. \(-\frac{1}{2} x \cos 2 x-\frac{1}{4} \sin 2 x+C\).

chọn A

ĐẶT \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=\sin 2 x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\frac{1}{2} \cos 2 x\end{array}\right.\right.\)

do đó \(\int x \sin 2 x d x=-\frac{1}{2} x \cos 2 x+\frac{1}{2} \int \cos 2 x \mathrm{~d} x\)

= \(-\frac{1}{2} x \cos 2 x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C\)

Xét I=\(\int x^{3}\left(4 x^{4}-3\right)^{5} \mathrm{~d} x\). Bằng cách đặt u = \(4 x^{4}-3\), khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

A. \(I=\int u^{5} \mathrm{~d} u\).

B. \(I=\frac{1}{12} \int u^{5} \mathrm{~d} u\).

C. \(I=\frac{1}{16} \int u^{5} \mathrm{~d} u\).

D. \(I=\frac{1}{4} \int u^{5} \mathrm{~d} u\).

chọn C

ta có u=\(4 x^{4}-3 \Rightarrow d u=16 x^{3} d x\)

=> \(x^{3} d x=\frac{d u}{16} \Rightarrow I=\int x^{3}\left(4 x^{4}-3\right)^{5} \mathrm{~d} x=\frac{1}{16} \int u^{5} \mathrm{~d} u\)

Họ nguyên hàm của  \(\int \frac{x-1}{x^{2}} \mathrm{~d} x\) bằng

A. \(-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+C\).

B. \(\ln |x|+\frac{1}{x}+C\).

C. \(\ln |x|-\frac{1}{x}+C\).

D. \(-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+C\).

chọn B

ta có \(\int \frac{x-1}{x^{2}} d x=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right) d x\)

\(\int \frac{1}{x} d x-\int \frac{1}{x^{2}} d x=\ln |x|+\frac{1}{x}+C, C \in \mathbb{R}\)

Với x>1/2 thì F(x)=1/2ln(2x-1)+2

do đó F(2)=1/2ln3+2

Tìm nguyên hàm  \(\int x\left(x^{2}+7\right)^{10} \mathrm{~d} x\) bằng phương pháp đặt\(t=x^{2}+7\).

A. \(\frac{1}{32}\left(x^{2}+7\right)^{16}+C\).

B. \(-\frac{1}{32}\left(x^{2}+7\right)^{16}+C\).

C. \(\frac{1}{16}\left(x^{2}+7\right)^{16}+C\).

D. \(\frac{1}{2}\left(x^{2}+7\right)^{16}+C\).

chọn A

đặt t=\(x^{2}+7 \Rightarrow \mathrm{d} t=2 x \mathrm{~d} x \Rightarrow x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{~d} t\)

ta có \(\int x\left(x^{2}+7\right)^{15} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int t^{15} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{16}}{16}+C\)

=\(\frac{1}{32}\left(x^{2}+7\right)^{16}+C\).

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{5 x-2}\).

A. \(\int \frac{\mathrm{d} x}{5 x-2}=5 \ln |5 x-2|+C\).

B. \(\int \frac{\mathrm{d} x}{5 x-2}=\frac{1}{5} \ln |5 x-2|+C\).

C. \(\int \frac{\mathrm{d} x}{5 x-2}=-\frac{1}{2} \ln |5 x-2|+C\).

D. \(\int \frac{\mathrm{d} x}{5 x-2}=\ln |5 x-2|+C\).

chọn B

đặt u=5x-2

=> du=5dx => du/5 = dx

ta có \(\int \frac{d x}{5 x-2}=\frac{1}{5} \int \frac{d u}{u}=\frac{1}{5} \ln |u|+C\)

\(=\frac{1}{5} \ln |5 x-2|+C\).

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{2 x-1}\).

biết F(1)=2. Gía trị F(2)?

A. \(F(2)=2 \ln 3-2\).

B. \(F(2)=\frac{1}{2} \ln 3+2\).

C. \(F(2)=\ln 3+2\).

D. \(F(2)=\frac{1}{2} \ln 3-2\).

chọn B

ta có

 \(\int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{1}{2 x-1} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \ln |2 x-1|+C(C \in \mathbb{R})\).

F(1)=2 => C=2

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+x^{2018}\) là

A. \(2 \sqrt{x^{3}}+\frac{x^{2019}}{2019}+C\).

B. \(\frac{3}{2 \sqrt{x}}+6054 x^{2017}+C\).

C. \(\frac{6}{\sqrt{x}}+\frac{x^{2019}}{673}+C\).

D. \(6 \sqrt{x}+\frac{x^{2019}}{2019}+C\).

chọn D

\(\int\left(\frac{3}{\sqrt{x}}+x^{2018}\right) \mathrm{d} x=\int\left(3 x^{-\frac{1}{2}}+x^{2018}\right) \mathrm{d} x\)

= \(3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\underline{1}}+\frac{x^{2019}}{2019}+C=6 \sqrt{x}+\frac{x^{2019}}{2019}+C\).

Tính \(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x}}\) bằng phương pháp đặt  \(u=\sqrt{1-x}\).

A. \(\frac{2}{\sqrt{1-x}}+C\).

B. \(\sqrt{1-x}+C\).

C. \(\frac{C}{\sqrt{1-x}}\).

D. \(-2 \sqrt{1-x}+C\).

chọn D

đặt u = \(\sqrt{1-x} \Rightarrow u^{2}=1-x\)

=> 2udu=-dx

ta có \(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x}}=\int \frac{-2 u \mathrm{du}}{u}=-2 \int \mathrm{du}=-2 u+C=\)

= \(=-2 \sqrt{1-x}+C\)