Bài tập minh họa mối liên hệ Đạo hàm và Nguyên hàm

? Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x)=6 x^{2}\) biết rằng F(1)=5

Đáp án:

để tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=6 x^{2}\) ta thực hiện tích phân:

\(F(x)=\int 6 x^{2} d x\)

Tìm nguyên hàm của \(6 x^{2}\) :

Dùng điều kiện \(F(1)=5\) :

Vậy nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)=6 x^{2}\) là:

? Cho \(F(x)=\int\left(3 x^{2}+4 x+5\right) d x\). Tính đạo hàm của F(x)

Đáp án:

Trước hết, ta tìm nguyên hàm của hàm số \(3 x^{2}+4 x+5\):

\(F(x)=\int\left(3 x^{2}+4 x+5\right) d x\)

Tách ra và tính tích phân từng phần

\(F(x)=3 \int x^{2} d x+4 \int x d x+5 \int 1 d x\)

Tính các nguyên hàm:

\(\int x^{2} d x=\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, \quad \int x d x=\frac{x^{2}}{2}+C_{2}, \quad \int 1 d x=x+C_{3}\)

Gộp lại ta có:

\(F(x)=3\left(\frac{x^{3}}{3}\right)+4\left(\frac{x^{2}}{2}\right)+5 x+C=x^{3}+2 x^{2}+5 x+C\)

Tình đạo hàm của F(x):

\(F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}\left(x^{3}+2 x^{2}+5 x+C\right)=3 x^{2}+4 x+5\)

? Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x)=e^{x}\) biết tằng F(0)=1

Đán án:

\(F(x)=\int e^{x} d x=e^{x}+C\)

điều kiện F(0)=1:

\(F(0)=e^{0}+C=1 \Rightarrow 1+C=1 \Rightarrow C=0\)

Vậy nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)=e^{x}\) là:

? Hàm chi phí cận biên của một công ty là \(M C(q)=4 q^{3}-2 q+5\). Tìm hàm tổng chi phí TC(q) nếu chi phí cố định TC(0)=10

Đáp án:

\(T C(q)=\int\left(4 q^{3}-2 q+5\right) d q\)

Tìm nguyên hàm:

\(\begin{array}{c}T C(q)=4 \int q^{3} d q-2 \int q d q+5 \int 1 d q \\ T C(q)=4\left(\frac{q^{4}}{4}\right)-2\left(\frac{q^{2}}{2}\right)+5 q+C=q^{4}-q^{2}+5 q+C\end{array}\)

Điều kiện TC(0)=10

\(T C(0)=0-0+0+C=10 \Rightarrow C=10\)

Vậy hàm tổng chi phí là:

\(T C(q)=q^{4}-q^{2}+5 q+10\)

? Cho \(G(x)=\int(2 x+3) d x\). Tìm đạo hàm của \(G(x)\).

Đáp án:

Nguyên hàm của G(x)

\(\begin{array}{c}G(x)=\int(2 x+3) d x=2 \int x d x+3 \int 1 d x \\ G(x)=2\left(\frac{x^{2}}{2}\right)+3 x+C=x^{2}+3 x+C\end{array}\)

=> Đạo hàm G(x)

\(G^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}\left(x^{2}+3 x+C\right)=2 x+3\)

Những bài tập trên đã phần nào làm rõ mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm, cho thấy cách tìm nguyên hàm của một hàm số và ngược lại, các kiểm tra kết quả thông qua đạo hàm.

Không chỉ học vẹt lý thuyết mà bạn còn được trải nghiệm bài tập minh họa với đa dạng kiểu bài. Hy vọng chúng tôi đã có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.

Luyện đề cùng EXAMON ngay lúc này:

Bạn có đang chìm trong biển đề cũ kỹ, không có hướng đi chính xác cho các kì thi sắp tới không ?

Việc lựa chọn đúng những bộ đề phù hợp, cập nhật và sát với thực tế là vô cùng quan trọng để bạn có thể nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.

Đừng mải mê chơi, cũng đừng học cho qua loa, hãy thực tế lên vì Examon có dành cho bạn những ưu đãi lớn :

- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!