Bài tập giải phương trình bậc nhất với sinx, cosx

Câu 1: Tổng các nghiệm của phương trình \(\cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x=1\) trong khoảng \((0 ; \pi)\) là:

A. 0

B. \(\pi\)

C. \(2 \pi\)

D. \(2 \pi / 3\)

Đáp án: D

Trong khoảng \((0, \pi): x=\frac{2 \pi}{3}(k=1)\).

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình \((\sin (x / 2)+\cos (x / 2))^{2}+\sqrt{3} \cos x=2\) là:

A. \(\left\{-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, \frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z\right\}\)

B. \(\left\{-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, k \in Z\right\}\)

C. \(\left\{-\frac{\pi}{6}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\right\}\)

D. \(\left\{\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z\right\}\)

Đáp án: A

Ta có PT \(\Leftrightarrow \cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}+2 \cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}+\sqrt{3} \cos x=2\)

Câu 3: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt{3} \sin x+\cos x=1 / \cos x\) thuộc \((0 ; 2 \pi)\) là:

A. \(\left\{\frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4 \pi}{3}\right\}\)

B. \(\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right\}\)

C. \(\left\{\frac{\pi}{3}, \pi\right\}\)

D. \(\left\{\frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4 \pi,}{3}, 2 \pi\right\}\)

Đáp án: A

Điều kiện:

\(\begin{array}{l}\sqrt{3} \sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x+\frac{\cos 2 x+1}{2}=1 \\ \Leftrightarrow \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=k \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+k \pi\end{array} \quad(k \in Z)\right.\end{array}\)

Câu 4: Phương trình \((m+2) \sin x-2 m \cos x=2(m+1)\) có nghiệm khi:

A. \(\left[\begin{array}{l}m \geq 4 \\ m \leq 0\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{c}m \geq 0 \\ m \leq-4\end{array}\right.\)

C. \(-4 \leq m \leq 0\)

D. \(0 \leq m \leq 4\)

Đáp án: A

PT đã cho \(\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=\frac{2(m+1)}{\sqrt{(m+2)^{2}+(2 m)^{2}}}\)

Với \(\cos \alpha=\frac{m+2}{\sqrt{(m+2)^{2}+(2 m)^{2}}} ; \sin \alpha=\frac{2 m}{\sqrt{(m+2)^{2}+(2 m)^{2}}}\)Để pt có nghiệm thì \(\left|\frac{2(m+1)}{\sqrt{(m+2)^{2}+(2 m)^{2}}}\right| \leq 1\)

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=3 \sin x+4 \cos x+5\) là:

A. 0

B. -2

C. 5

D. -1

Đáp án: A

Câu 6: Tập nghiệm của phương trình \(2 \sin ^{2} x-\sin 2 x=0\) là:

A. \(\left\{\frac{\pi}{4}+k \pi, k \pi, k \in Z\right\}\)

B. \(\{k \pi, k \in Z\}\)

C. \(\left\{\frac{\pi}{4}+k 2 \pi, k \in Z\right\}\)

D. \(\{k 2 \pi, k \in Z\}\)

Đáp án: A

Câu 7: Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(\cos 2 x-\sin 2 x=1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\frac{\pi}{4} \in S\).

B. \(\frac{\pi}{2} \in S\).

C. \(\frac{3 \pi}{4} \in S\).

D. \(\frac{5 \pi}{4} \in S\).

Đáp án: C

Câu 8: Số nghiệm của phương trình \(\sin 2 x+\sqrt{3} \cos 2 x=\sqrt{3}\) trên khoảng \((0, \pi / 2)\) là?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: A

Câu 9: Tính tổng \(T\) các nghiệm của phương trình \(\cos ^{2} x-\sin 2 x=\sqrt{2}+\sin ^{2} x\) trên khoảng \((0,2 \pi\) ).

A. \(T=7 \pi / 8\)

B. \(T=21 \pi / 8\)

C. \(T=11 \pi / 4\)

D. \(T=3 \pi / 4\)

Đáp án: C

Câu 10: Biến đổi phương trình \(\cos 3 x-\sin x=\sqrt{3}(\cos x-\sin 3 x)\) về dạng \(\sin (a x+b)=\sin (c x+d)\) với \(b, d\) thuộc khoảng \([-\pi / 2, \pi / 2\). Tính \(b+d\).

A. \(b+d=\pi / 12\)

B. \(b+d=\pi / 4\)

C. \(b+d=-\pi / 3\)

D. \(b+d=\pi / 2\)

Đáp án: D

\(\Leftrightarrow \sin (3 x+\pi / 6)=\sin (x+\pi / 3)\). 

Vậy \(b=\pi / 6 ; d=\pi / 3\).