Bài tập cấp số nhân lùi vô hạn siêu hay

1. Phương pháp giải

Tổng của CSN lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn \(u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . u_{n}, .\). có công bội \(q\), với \(|q|\lt 1\) gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng \(S\) của cấp số nhân đó là:

\[\mathrm{S}=\mathrm{u}_{1}+\mathrm{u}_{1} \mathrm{q}+\mathrm{u}_{2} \mathrm{q}^{2}+\ldots=\frac{u_{1}}{1-q}\]

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau:

\[\frac{1}{2},-\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots, \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}, \ldots\]

Lời giải chi tiết

Đây là tổng của cấp số nhân vô hạn có

\(u_{1}=\frac{1}{2}, q=\frac{-1}{2}\) nên tổng là \(S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\)

2.2 Ví dụ 2

Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{n}=1 /\left(3^{n}\right)\)

Lời giải chi tiết

Vì

\[\begin{array}{c}u_{n}=\frac{1}{3^{n}}=\gt u_{1}=\frac{1}{3}, q=\frac{1}{3} \\=>S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\end{array}\]

2.3 Ví dụ 3

Tìm tổng của dãy số sau:

\[-1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}-\frac{1}{8}, \ldots, \frac{-1^{n}}{10^{n-1}} \ldots\]

Lời giải chi tiết

\[u_{n}=\frac{-1^{n}}{10^{n-1}} ; u_{n+1}=\frac{-1^{n+1}}{10^{n-1}+1}=\gt u_{n+1}=-\frac{1}{10} u_{n}\]

Vì vậy các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=-1, q=-1 / 10\)Vậy

\[\begin{array}{l}\mathrm{S}=-1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}-\frac{1}{8}, \ldots, \frac{-1^{n}}{10^{n-1} \ldots} \\\ldots=>S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{-1}{1+\frac{1}{10}}=\frac{-10}{11}\end{array}\]

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Tổng của cấp số nhân vô hạn: \(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4},-\frac{1}{8}, \ldots, \frac{(-1)^{k}}{2^{n}}, \ldots\) là:

A. \(\frac{1}{3}\) B. \(\frac{-1}{3}\) C. \(-\frac{2}{3}\) D. -1

Bài 2: Tổng của cấp số nhân vô hạn: \(\frac{1}{3},-\frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \ldots, \frac{(-1)^{n+1}}{3^{n}}, \ldots\) là:

A. \(\frac{1}{4}\) B. \(\frac{1}{2}\) C. \(\frac{3}{4}\) D. 4

Bài 3: Tổng của cấp số nhân vô hạn \(2 ;-1 ; \frac{1}{2} ;-\frac{1}{4} ; \frac{1}{8} ; \ldots ; \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}} ; \ldots\) là:

A. \(\frac{4}{3}\) B. \(\frac{1}{3}\) C. \(\frac{-1}{3}\) D. \(\frac{2}{3}\)

Bài 4: Tổng của cấp số nhân vô hạn \(3 ;-1 ; \frac{1}{3} ;-\frac{1}{9} ; \frac{1}{27} ; \ldots ; \frac{(-1)^{n+1}}{3^{n}} ; \ldots\) là:

A. \(\frac{1}{4}\) B. \(\frac{1}{2}\) C. \(\frac{9}{4}\) D. 4

Bài 5: Tổng của cấp số nhân vô hạn: \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16},-\frac{1}{64}, \ldots, \frac{(-1)^{n}}{4^{n}}, \ldots\) là:

A. \(-\frac{1}{5}\) B. \(\frac{-1}{3}\) C. \(\frac{1}{5}\) D. \(\frac{-5}{16}\)

Bài 6: Kết quả nào sau đây là đúng:

A. Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_{n}\right)\) có công bội q thì tổng \(S=\frac{u_{1}}{1-q}\)

B. Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_{n}\right)\) có

\[u_{1}=4, S=\frac{4}{3}=\gt S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{4}{3}}=-12\]

C. Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=15, S=60=>q=\frac{3}{4}\)

D. Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=-4, q=-\frac{5}{4}=>S=-169\)

Bài 7: Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=-50, S=100\). Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy:

A. \(50 ; 25 ; 12,5 ; 6,5 ; 3,25\)

B. \(50 ; 25,5 ; 12,5 ; 6,25 ; 3,125\)

C. \(50 ; 25 ; 12,5 ; 6,25 ; 3,125\)

D. \(50 ; 25 ; 12,25 ; 6,125 ; 3,0625\)

Bài 8: Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=-1, q=x\). Tìm tổng \(S\) và 3 số hạng đầu của cấp số này:

A. \(S=-\frac{1}{1+x}\) và \(-1, x,-x^{2}\)

B. \(S=-\frac{1}{1+x} \quad\) và \(-1, \mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}\)

C. \(S=-\frac{1}{1-x} \quad\) và \(-1,-x,-x^{2}\)

D. \(S=-\frac{1}{1-x} \quad\) và \(-1, x,-x^{2}\)

Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=-x, q=x^{2}\). Tìm tổng \(S\) và 3 số hạng đầu của cấp số này:

A. \(S=\frac{x}{1+x} \quad\) và \(-\mathrm{x}, \mathrm{x}^{3}, \mathrm{x}^{5}\)

B. \(S=\frac{x}{1+x} \quad\) và \(-\mathrm{x}, \mathrm{x}^{3}, \mathrm{x}^{4}\)

C. \(S=\frac{x}{1-x}\) và \(-\mathrm{x}, \mathrm{x}^{3}, \mathrm{x}^{6}\)

D. \(S=\frac{x}{1-x} \quad\) và \(-x,-x^{3},-x^{6}\)

Bài 10: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: \(5, \sqrt{5}, 1, \frac{1}{\sqrt{5}}, \ldots\)

A. \(\frac{5 \sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\)

B. \(\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\)

C. \(\frac{1-\sqrt{5}}{5 \sqrt{5}}\)

D. \(\frac{5 \sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\)

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Trên đây là bài viết tổng hợp đầy đủ, ngắn gọn về các Bài tập cấp số nhân lùi vô hạn siêu hay trong chương trình toán lớp 11 từ cơ bản đến nâng cao. Examon hy vọng có thể giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều kiến thức mới mỗi ngày.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!