Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp tính tích phân
Hãy cùng Examon tìm hiểu kỹ càng hơn về quy tắc đạo hàm của hàm hợp tính tích phân nhé !
Mục lục bài viết
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp không chỉ là một kỹ thuật giải toán mà còn là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta đơn giản hóa và giải quyết những bài toán tích phân khó nhằn. Qua những ví dụ minh họa và bài tập thực hành, các bạn sẽ thấy rằng việc áp dụng quy tắc này không hề khó khăn như tưởng tượng, ngược lại còn mang lại những kết quả nhanh chóng và chính xác. Hãy cùng Examon bắt đầu cuộc phiêu lưu trong hành trính chinh phục tích phân đầy thú vị này nhé !
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Quy tắc đạo hàm tích
\((u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}\)
Nếu \([f(x) \cdot g(x)]^{\prime}=h(x)\) thì \(f(x) \cdot g(x)=\int h(x) d x\).
3. Quy tắc đạo hàm thương
Nếu \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) thì \(\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}\) với \(v \neq 0\).
Nếu \(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=h(x)\) thi \(\frac{f(x)}{g(x)}=\int h(x) d x\).
Đặc biệt :
Nếu \(u=u(x)\) thì \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{u^{2}}\) với \(u \neq 0\).
Nếu \(\left(\frac{1}{f(x)}\right)^{\prime}=g(x)\) thì \(\frac{1}{f(x)}=\int g(x) d x\)
4. Bài tập minh họa
4.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn: \(3 x \cdot f(x)-x^{2} \cdot f^{\prime}(x)=2 \cdot f^{2}(x)\), với \(f(x) \neq\) \(0, \forall \mathrm{x} \in(0 ;+\infty)\) và \(f(1)=\frac{1}{3}\). Gọi \(M, m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x) \operatorname{trên}[1 ; 2]\). Tính \(M+m\)
Lời giải
\[\begin{array}{l}\text { Ta có } 3 x \cdot f(x)-x^{2} \cdot f^{\prime}(x)=2 \cdot f^{2}(x) \Leftrightarrow 3 x^{2} \cdot f(x)-x^{3} \cdot f^{\prime}(x)=2 x \cdot f^{2}(x) \\\Leftrightarrow \frac{3 x^{2} \cdot f(x)-x^{3} \cdot f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}=2 x \Leftrightarrow\left(\frac{x^{3}}{f(x)}\right)=2 x \\\int\left(\frac{x^{3}}{f(x)}\right) \mathrm{dx}=\int 2 x \mathrm{dx} \Leftrightarrow \frac{x^{3}}{f(x)}=x^{2}+C\end{array}\]Do \(f(1)=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{1+C}=\frac{1}{3} \Rightarrow C=2\).
Vậy \(f(\mathrm{x})=\frac{x^{3}}{x^{2}+2}\)
Tìm được \(M=f(2)=\frac{4}{3}, m=f(1)=\frac{1}{3} \Rightarrow M+m=\frac{5}{3}\).
4.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(2)=-\frac{2}{9}\) và \(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2}, \forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f(1)\) bằng
Lời giải
\(\begin{array}{l}\text { Ta có } f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2} \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}=2 x \Rightarrow\left[\frac{1}{f(x)}\right]^{\prime}=-2 x \Rightarrow \frac{1}{f(x)}=-\int 2 x d x \\ \Rightarrow \frac{1}{f(x)}=-x^{2}+C \text {. } \\ \text { Lại có } f(2)=-\frac{2}{9} \Rightarrow C=-\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{f(x)}=-x^{2}-\frac{1}{2} \Rightarrow f(1)=-\frac{2}{3} .\end{array}\)
5. Luyện thi cùng Examon
Như vậy, việc áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số giúp chúng ta dễ dàng tính được các tích phân phức tạp một cách hiệu quả. Hy vọng rằng bài viết này của Examon đã giúp bạn có cái nhìn rõ hơn về cách thức sử dụng quy tắc đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân. Chúc các bạn thành công trong việc học tập và nghiên cứu toán học.
Bên cạnh đó, để thành thạo môn học này, bạn cần tiếp tục luyện tập và rèn luyện kỹ năng tính toán, đồng thời không nên bỏ lỡ cơ hội thực hành thông qua các bài tập, đề thi. Examon ở đây để cung cấp cho bạn những bài tập, những đề thi hiệu quả nhất.
Nhưng đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
