Áp dụng công thức lượng giác vào tính biểu thức

1. Phương pháp giải

1.1 Phương pháp

Để tính Tính giá trị biểu thức liên quan đến giá trị lượng giác ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác không đặc biệt hoặc biến đổi biểu thức lượng giác về dạng chỉ xuất hiện giá trị đã cho của giả thiết để tính.

1.2 Các công thức thường dùng

Các hệ thức lượng giác cơ bản:

\[\begin{array}{l}{ } \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 ; \\{ } 1+\tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}(a \neq \pi 2+k \pi, k \in Z) ; \\{ } 1+\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}(\alpha \neq k \pi, k \in Z) ; \\{\tan } \alpha \cdot \cot \alpha=1\left(\alpha \neq \frac{k \pi}{2}, k \in Z\right) .\end{array}\]

Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt:

+ Góc đối nhau ( \(a\) và \(-\alpha)\) :

\(\cos (-\alpha)=\cos a ; \sin (-\alpha)=-\sin a\);

\[\tan (-\alpha)=-\tan \alpha ; \cot (-\alpha)=-\cot \alpha \text {. }\]

+Góc bù nhau ( \(a\) và \(\pi-\alpha)\) :

\(\sin (\pi-\alpha)=\sin a ; \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha\);

\[\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha ; \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha \text {. }\]

+Góc phụ nhau ( \(a\) và \(\pi /2-\alpha)\) :

\(\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos a ; \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha\);

\[\tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha ; \cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha .\]

+Góc hơn kém nhau \(\pi\) ( \(\alpha\) và \(\pi+\alpha)\) :

\(\sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha ; \cos (\pi+\alpha)=-\cos \alpha\)

\[\tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha ; \cot (\pi+\alpha)=\cot \alpha \text {. }\]

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Tính:

a) \(A=2 \cos 2 x+3 \sin 3 x\) với \(x=45^{\circ}\).

b) \(\mathrm{B}=\tan 10^{\circ} \tan 20^{\circ} \ldots \tan 80^{\circ}\).

Lời giải chi tiết

a) Thay \(x=45^{\circ}\) vào biểu thức \(A\) ta có:

\(\begin{array}{l}A=2 \cos \left(2.45^{\circ}\right)+3 \sin \left(3.45^{\circ}\right)=2 \cos 90^{\circ}+3 \sin \left(135^{\circ}\right) \\ =2.0+3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}} .\end{array}\)

b) Ta có: \(\tan \left(90^{\circ}-x\right)=\cot x ; \tan x \cdot \cot x=1\).

Suy ra \(\tan x \cdot \tan \left(90^{\circ}-x\right)=1\).

Ta có: \(B=\tan 10^{\circ} \tan 20^{\circ} \ldots \tan 80^{\circ}\)

\[\begin{array}{l}=\left(\tan 10^{\circ} \tan 80^{\circ}\right) \cdot\left(\tan 20^{\circ} \tan 70^{\circ}\right) \cdot\left(\tan 30^{\circ} \tan 60^{\circ}\right) \cdot\left(\tan 40^{\circ} \tan 50^{\circ}\right) \\=\left(\tan 10^{\circ} \cot 10^{\circ}\right) \cdot\left(\tan 20^{\circ} \cot 20^{\circ}\right) \cdot\left(\tan 30^{\circ} \cot 30^{\circ}\right) \cdot\left(\tan 40^{\circ} \cot 40^{\circ}\right) \\=1.1 .1 .1 \\=1 .\end{array}\]

2.2 Ví dụ 2

a) Cho \(\cos x=\frac{1}{3}\) với \(0^{\circ}\lt x\lt 90^{\circ}\).

Tính giá trị của biểu thức \(P=4 \sin x+\cos ^{2} x+1\).

b) Cho \(\tan x=2\). Tính giá trị biểu thức \(A=\frac{4 \sin x+5 \cos x}{2 \sin x-3 \cos x}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1 \Rightarrow \sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x\).

\[\Rightarrow \sin x= \pm \sqrt{1-\cos ^{2} x}= \pm \sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}= \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}\gt \text {. }\]

Vì \(0^{\circ}\lt x\lt 90^{\circ}\) nên \(\sin x>0\)

Suy ra \(\sin x=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\).

Vậy \(P=4 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+1=\frac{10+24 \sqrt{2}}{9}\).

b) Ta có \(\tan x=2 \Rightarrow \cos x \neq 0\).

Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(\mathrm{A}\) cho \(\cos \mathrm{x}\) ta được:

\[\mathrm{A}=\frac{4 \cdot \tan x+5}{2 \cdot \tan x-3}=\frac{4 \cdot 2+5}{2 \cdot 2-3}=13 \text {. }\]

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho \(x=30^{\circ}\). Khi đó giá trị của biểu thức \(A=\sin 2 x-3 \cos x\) là:

A. 3 ;

B. \(\sqrt{3}\);

C. \(-\sqrt{3}\);

D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Bài 2. Cho \(\alpha+\beta=\pi\). Khi đó biểu thức \(A=\sin ^{2}(\pi-\beta)+\cos ^{2}(\pi-\alpha)\) là:

A. 1 ;

B. 2;

C. -1 ;

D. -2 .

Bài 3. Cho \(\sin x=\frac{1}{4}\). Biểu thức

\(\mathrm{A}=\frac{4}{3} \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=\cos ^{2} \alpha(v o ̛ ́ i(a, b)=1)\).

Khi đó giá trị của a - b là:

A. 2 ;

B. 1 ;

C. 3 ;

D. 4 .

Bài 4. Cho \(\sin x=\frac{1}{2}\), biết \(\cos x\) nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức \(\mathrm{A}=\frac{\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}}{\sin x+\cos \mathrm{x}}\) là

A. \(-2-\sqrt{3}\);

B. \(2+\sqrt{3}\);

C. \(-2-\sqrt{3}\);

D. \(2-\sqrt{3}\).

Bài 5. Cho \(\sin a=\frac{2}{3}\) biết \(90^{\circ}\lt \alpha\lt 180^{\circ}\). Đáp án nào sau đây là đúng?

A. \(4 \sin ^{2} a+2 \cos ^{2} a=3\);

B. \(4 \sin ^{2} a+2 \cos ^{2} a=-3\);

C. \(4 \sin \alpha+2 \cos \alpha=\frac{8-2 \sqrt{5}}{3}\);

D. \(4 \sin \alpha+2 \cos \alpha=\frac{8+2 \sqrt{5}}{3}\).

4. Học tập hiệu quả cùng Examon

Như vậy, Examon đã tổng hợp song tất cả từ phương pháp giải đến bài tập để các bạn học sinh dễ dàng ghi nhớ và học có hiệu quả hơn. Hy vọng sau bài viết, các bạn học sinh đã nắm vững kiến thức về dạng tính giá trị biểu thức lượng giác. Đồng hành cùng Examon mỗi ngày để tiến xa hơn trong học tập.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ cùng EXAMON

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh