Áp dụng công thức lượng giác vào các bài toán

Khuất Duyên

Để làm được bài tập các bạn không chỉ cần học thuộc công thức mà còn phải biết cách áp dụng vào bài tập. Và tất cả đều có trong bài viết nãy, tham khảo ngay thôi nào.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
    • 1.1 Dạng toán rút gọn
    • 1.2 Dạng toán chứng minh đẳng thức lượng giác
  • 2. Ví dụ minh họa
    • 2.1 Ví dụ 1
    • 2.2 Ví dụ 2
  • 3. Bài tập vận dụng
  • 4. Xây dụng thói quen học hiệu quả cùng Examon

Bài viết Áp dụng công thức lượng giác vào các bài toán gồm 3 phần: phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập vận dung giúp cho các bạn học sinh dễ dàng ghi nhớ và áp dụng học ngay các kiến thức đã học. 

Hy vong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập dụtậptậtậpptậpdụtậptậtậptậpcông thức lượng giác cũng như chinh phục bài  của bản thân.

banner

1. Phương pháp giải

1.1 Dạng toán rút gọn

Để làm tốt dạng toán rút gọn, ta cần nắm vững các công thức lượng giác đã học (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích), các giá trị lượng giác liên quan đến góc đặc biệt và các hằng đẳng thức lượng giác để biến đổi biểu thức ban đầu về dạng đơn giản, rút gọn hơn.

1.2 Dạng toán chứng minh đẳng thức lượng giác

Đối với bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác, ta có thể lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

Cách 1: Dùng các công thức lượng giác, hệ thức lượng giác biến đổi vế này thành vế kia (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái).

Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết và luôn đúng.

Cách 3: Biến đổi đẳng thức đã biết luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức sau \(A=\frac{\cos a+2 \cos 2 a+\cos 3 a}{\sin a+\sin 2 a+\sin 3 a}\) (giả sử biểu thức có nghĩa).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A=\frac{\cos a+2 \cos 2 a+\cos 3 a}{\sin a+\sin 2 a+\sin 3 a} \\ =\frac{(\cos a+\cos 3 a)+2 \cos 2 a}{(\sin a+\sin 3 a)+\sin 2 a} \\ =\frac{2 \cos 2 a \cos a+2 \cos 2 a}{2 \sin 2 a \cos a+\sin 2 a} \\ =\frac{2 \cos 2 a(\cos a+1)}{2 \sin 2 a(\cos a+1)} \\ =\frac{\cos 2 a}{\sin 2 a}=\cot 2 a .\end{array}\)

2.2 Ví dụ 2

Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác a làm cho biểu thức xác định thì\(\frac{1-\sin 2 \alpha}{1+\sin 2 \alpha}=\cot ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\frac{1-\sin 2 \alpha}{1+\sin 2 \alpha}=\frac{\sin ^{2} \alpha-2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha}\)

\(\begin{array}{l}=\frac{(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}}{(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}} \\ =\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha\right)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha\right)^{2}} \\ =\frac{\left(\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha-\sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha\right)^{2}}{\left(\sin \alpha \cos \frac{\pi}{4}+\cos \alpha \sin \frac{\pi}{4}\right)^{2}} \\ =\frac{\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{\sin ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}=\cot ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) .\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

3. Bài tập vận dụng

Bài 1. Giá trị biểu thức \(\frac{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{10}+\sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{15}}{\cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{\pi}{5}-\sin \frac{2 \pi}{15} \sin \frac{\pi}{5}}\) bằng

A. 1 ;

B. -1 ;

C. \(-\frac{3}{2}\);

D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Bài 2. Cho góc a thỏa mãn \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\) và \(\sin \alpha=\frac{2}{3}\). Tính \(P=\frac{1+\sin 2 \alpha+\cos 2 \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}\).

A. \(P=-\frac{2 \sqrt{5}}{3}\)

B. \(P=\frac{3}{2}\);

C. \(P=\frac{2 \sqrt{5}}{3}\);

D. \(P=-\frac{3}{2}\).

Bài 3. Đơn giản biểu thức \(A=\frac{2 \cos ^{2} x-1}{\sin x+\cos x}\) ta được kết quả là

A. \(A=\sin x-\cos x ;\)

B. \(A=\cos x+\sin x\);

C. \(A=-\sin x-\cos x\);

D. \(A=\cos x-\sin x\).

Bài 4. Rút gọn biểu thức \(P=\frac{\cos a-\cos 5 a}{\sin 4 a+\sin 2 a}\) với \((\sin 4 a+\sin 2 a \neq 0)\) ta được

A. \(P=2 \operatorname{cota;}\)

B. \(P=2 \cos a\);

C. \(P=2\) tana;

D. \(P=2\) sina.

Bài 5. Rút gọn biểu thức \(A=\frac{1+\cos \alpha+\cos 2 \alpha+\cos 3 \alpha}{2 \cos 2 \alpha+\cos \alpha-1}\) bằng

A. \(P=-2 \cos a\);

B. \(\mathrm{P}=\cos \mathrm{a}\);

C. \(\mathrm{P}=2 \cos a ;\)

D. \(P=2\) sina.

Bài 6. Với điều kiện xác định, hãy rút gọn biểu thức

\[A=\frac{(\tan x+\cot x)^{2}-(\tan x-\cot x)^{2}}{\cot x-\tan x} \text {. }\]

A. \(A=\frac{2}{\cot 2 x}\);

B. A \(=4\);

C. \(A=\frac{4}{\cot 2 x}\);

D. \(A=\frac{8}{\cot 2 x}\).

Bài 7. Biểu thức thu gọn của biểu thức \(B=\left(\frac{1}{\cos 2 x}+1\right) \cdot \tan x\) là

A. \(\cot 2 x\);

B. \(\tan 2 x\);

C. \(\cos 2 x\);

D. \(\sin x\).

Examon.png
Luyện đề cấp tốc cùng Examon

Bài 8. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. \(\sqrt{3}-2 \cos x=4 \sin \left(\frac{x}{2}+15^{\circ}\right) \sin \left(\frac{x}{2}-15^{\circ}\right)\);

B. \(\tan ^{2} x-3=\frac{4 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos ^{2} x}\);

C. \(\sin ^{2} 7 x-\cos ^{2} 5 x=\cos 12 x \cos 2 x\);

D. \(1+\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}=2 \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\).

Bài 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \(\frac{\tan 30^{\circ}+\tan 40^{\circ}+\tan 50^{\circ}+\tan 60^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\);

B. \(\cos \frac{\pi}{5}-\cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{1}{2}\);

C. \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2 \pi}{7}+\cos \frac{3 \pi}{7}=\frac{1}{2}\);

D. \(\cos \frac{2 \pi}{5}+\cos \frac{4 \pi}{5}+\cos \frac{6 \pi}{5}+\cos \frac{8 \pi}{5}=-1\).

Bài 10. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. \(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2 \sin 2 x+\sqrt{3}}{4}\);

B. \(\sin \frac{\pi}{5} \sin \frac{2 \pi}{5}=\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{5}+\cos \frac{2 \pi}{5}\right)\);

C. \(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right) \cos 2 x=\frac{1}{4} \cos 2 x-\frac{1}{8} \cos 4 x-\frac{1}{8}\);

D. \(8 \cos x \sin 2 x \sin 3 x=2(\cos 2 x-\cos 4 x-\cos 6 x+1)\).

4. Xây dụng thói quen học hiệu quả cùng Examon

Bài viết này Examon đã tổng hợp đầy đủ ngắn gọn từ A đến Z cho các bạn học sinh dễ dàng tiếp cận. Hy vọng sau khi đọc song bài viết các bạn học sinh có thể nẵm vững các kiến thức và áp dụng vào các bài kiểm tra đạt kết quả tốt. Cùng Examon trên con đường tìm kiếm tri thức.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.