Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).

Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

trong đó :

\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,

\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,

\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân

\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

2. Công thức đạo hàm của hàm chứa căn

Nếu \(u=u(x)\) thì \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\) với \(u\gt 0\).

Nếu \([\sqrt{f(x)}]^{\prime}=h(x)\) thì \(\sqrt{f(x)}=\int h(x) d x\).

3. Công thức đạo hàm của hàm mũ

Nếu \(u=u(x)\) thì \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\);

Nếu \(\left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=g(x)\) thì \(e^{f(x)}=\int g(x) d x\).

4. Công thức đạo hàm của hàm lôgarit

Nếu \(u=u(x)\) nhận giá trị dương trên \(K\) thì \([\ln u]^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\) trên \(K\).

Nếu \([\ln (f(x))]^{\prime}=g(x)\) thì \(\ln (f(x))=\int g(x) d x\).

5. Bài tập minh họa

5.1. Bài tập 1

Bài 1 : Cho hàm số \(f(x)\) thȯa mãn \(f(2)=25\) và \(f^{\prime}(x)=4 x \sqrt{f(x)}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x\) bằng

Lời giải

Từ giả thiết ta suy ra được: \(f^{\prime}(x) \geq 0 \forall x \in(0 ;+\infty)\).

Suy ra hàm số \(f(x)\) không nghịch biến trên bất kì khoảng con nào của \((0 ;+\infty)\).

Từ đó suy ra \(f(x) \geq f(2)=25\gt 0 \forall x \in[2 ;+\infty)\).

Xét trên \([2 ;+\infty)\) ta có: \(f^{\prime}(x)=4 x \sqrt{f(x)} \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{f(x)}}=2 x\)

Suy ra \(\int \frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{f(x)}} \mathrm{d} x=\int 2 x \mathrm{~d} x \Rightarrow \sqrt{f(x)}=x^{2}+C\).

Mà \(f(2)=25\) nên ta suy ra được \(\sqrt{25}=2^{2}+C \Leftrightarrow C=1\).

Từ đó ta có: \(f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{2}=x^{4}+2 x^{2}+1, \forall x \in[2 ;+\infty)\).

Do đó \(\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x=\int_{2}^{3}\left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) \mathrm{d} x=\left.\left[\frac{x^{5}}{5}+\frac{2 x^{3}}{3}+x\right]\right|_{2} ^{3}=\frac{838}{15}\).

5.2. Bài tập 2

Bài 2 : Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([0 ; 1]\) thỏa mãn \(f(0)=1\) và \(f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)-x^{2}-1}=\) \(2 x, \forall x \in[0 ; 1]\). Giá trị của \(\int_{0}^{1} f(x) d x\) bằng

Lời giải

\[\begin{array}{l}+ \text { Ta có } f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)-x^{2}-1}=2 x \Rightarrow f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)}=2 x e^{x^{2}+1} \Rightarrow\left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=2 x e^{x^{2}+1} \\\Rightarrow e^{f(x)}=\int 2 x e^{x^{2}+1} d x \Rightarrow e^{f(x)}=e^{x^{2}+1}+C \text {. }\end{array}\]

Lại có \(f(0)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow e^{f(x)}=e^{x^{2}+1} \Rightarrow f(x)=x^{2}+1\).

Do vậy \(\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) d x=\left.\left(\frac{1}{3} x^{3}+x\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{4}{3}\)

5.3. Bài tập 3

Bài 3 : Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \([-1 ; 1]\), thỏa mãn :

\(f(x)\gt 0, \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f^{\prime}(x)+2 f(x)=0\).

Biết \(f(1)=1\). Tính \(f(-1)\).

Lời giải

Biến đổi :

\[\begin{array}{l} f^{\prime}(x)+2 f(x)=0 \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-2 \Leftrightarrow \int_{-1}^{1} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\int_{-1}^{1}-2 d x \Leftrightarrow \int_{-1}^{1} \frac{d f(x)}{f(x)}=-4 \\\left.\Leftrightarrow \ln f(x)\right|_{-1} ^{1}=-4 \\\ln \frac{f(1)}{f(-1)}=-4 \Leftrightarrow \frac{f(1)}{f(-1)}=e^{-4} \Leftrightarrow f(-1)=f(1) \cdot e^{4}=e^{4} .\end{array}\]

6. Cùng gia sư AI Examon cải thiện điểm số

Chúng ta đã cùng nhau khám phá công thức đạo hàm của hàm số hợp và cách áp dụng nó trong việc tính tích phân. Bằng việc nắm vững phương pháp này, các bạn không chỉ có thể giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán mà còn xây dựng nền tảng vững chắc để tiếp cận những lĩnh vực toán học cao cấp hơn.Hi vọng rằng, thông qua bài viết Examon mang đến các bạn sẽ cảm thấy tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tích phân .

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

*Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh*

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.