5 phút nắm vững Nguyên hàm hợp
Chỉ tóm gọn trong 5 phút, bạn có ngay kiến thức về một loại nguyên hàm hàm hợp được xuất hiện với tần số cao trong các bài tập.
Mục lục bài viết
Thông qua biến đổi và áp dụng các biện pháp tiên tiến được Examon nêu ra dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững hơn về nguyên hàm hợp. Nói 5 phút bởi vì chúng mình đã đơn giản hóa quá trình tính toán cho các dạng bài phức tạp của nguyên hàm hợp. Mời bạn đọc tham khảo qua.
1. Công thức của hàm hợp
1) \(\int u^{\alpha} d u=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)
2) \(\int \frac{1}{u} d u=\ln |u|+C\)
3) \(\int e^{u} d u=e^{u}+C\)
4) \(\int \sin u d u=-\cos u+C\)
5) \(\int \cos u d u=\sin u+C\)
6) \(\int \frac{d u}{\cos ^{2} u}=\tan u+C\)
7) \(\int \frac{d u}{\sin ^{2} u}=-\cot u+C\)
8) \(\int \frac{1}{u^{2}} d u=\frac{-1}{u}+C\)
9) \(\int a^{u} d u=\frac{a^{u}}{\ln a}+C\)
2. Công thức đổi vi phân
\(d u=u^{\prime} d x \Rightarrow d x=\frac{d u}{u^{\prime}}\)
Tổng Quát: \(\int f(a x+b) d x=\frac{F(a x+b)}{a}+C\)
1/ \(\int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{\ln |a x+b|}{a}+C\)
2/ \(\int e^{a x+b} d x=\frac{e^{a x+b}}{a}+C\)
3/ \(\int(a x+b)^{\alpha} d x=\frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{(\alpha+1) \cdot a}+C\)
4/ \(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{\cos (a x+b)}{a}+C\)
5/ \(\int \cos (a x+b) d x=\frac{\sin (a x+b)}{a}+C\)
6) \(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)}=\frac{\tan (a x+b)}{a}+C\)
7/ \(\int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)}=\frac{-\cot (a x+b)}{a}+C \quad\)
8/ \(\int a^{m x+n} d x=\frac{a^{m x+n}}{\ln a \cdot m}+C\)
3. Các ví dụ
3.1. Câu 1
a) \(\int\left(4 x^{5}+2 x^{-3}-x^{\frac{1}{3}}\right) d x\)
giải:
Ta có \(\int\left(4 x^{5}+2 x^{-3}-x^{\frac{1}{3}}\right) d x\)
\(=4 \frac{x^{6}}{6}+2 \frac{x^{-2}}{-2}-\frac{x^{1+\frac{1}{3}}}{1+\frac{1}{3}}+C\)
\(=\frac{2}{3} x^{6}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C\)
b) \(\int x(3 \sqrt{x}-2) d x\)
giải:
\(=\int(3 x \sqrt{x}-2 x) d x=\int\left(3 x^{\frac{3}{2}}-2 x\right) d x\)
\(=3 \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-2 \frac{x^{2}}{2}+C=\frac{6}{5} x^{2} \sqrt{x}-x^{2}+C\)
3.2. Câu 2
a) \(\int \frac{2^{x}-1}{e^{x}} d x\)
giải:
Ta có \(\int \frac{2^{x}-1}{e^{x}} d x\)
\(=\int \frac{2^{x}}{e^{x}} d x-\int \frac{1}{e^{x}} d x\)
\(=\int\left(\frac{2}{e}\right)^{x} d x-\int e^{-x} d x\)
\(=\frac{\left(\frac{2}{e}\right)^{x}}{\ln _{e}^{2}}+e^{-x}+C\)
\(=\frac{2^{x}}{e^{x}(\ln 2-1)}+e^{-x}+C\)
b) \(\int\left(2+e^{x}\right)\left(1-3 e^{x}\right) d x\)
giải:
Ta có \(\int\left(2+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)\left(1-3 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right) \mathrm{dx}\)
\(=\int\left(2-5 e^{x}-3 e^{2 x}\right) d x\)
3.3. Câu 3
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(\int \frac{e^{-x}\left(e^{x}-1\right)^{2}}{2 e^{x}} d x\)
giải:
Ta có \(\int \frac{e^{-x}\left(e^{x}-1\right)^{2}}{2 e^{x}} \cdot d x\)
\(=\int \frac{e^{2 x}-2 e^{x}+1}{2 e^{2 x}} \mathrm{~d} x\)
\(=\int\left(\frac{1}{2}-e^{-x}+\frac{1}{2} e^{-2 x}\right) \mathrm{d} x\)
\(=\frac{x}{2}+e^{-x}-\frac{1}{4} e^{-2 x}+C\)
3.4. Câu 4
Tìm nguyên hàm của \(\int(2 \cos x-3 \cos 5 x) d x\)
giải:
Ta có \(\int(2 \cos x-3 \cos 5 x) \mathrm{d} x\)
\(=2 \sin x-\frac{3}{5} \sin 5 x+C\)
3.5. Câu 5
\(\int(1+2 \sin x)^{2} d x\)
giải:
Ta có \(\int(1+2 \sin x)^{2} d x\)
\(=\int\left(1+4 \sin x+4 \sin ^{2} x\right) d x\)
\(=\int\left(1+4 \sin x+4 \cdot \frac{1-\cos 2 x}{2}\right) d x\)
\(=\int(3+4 \sin x-2 \cos 2 x) d x\)
\(=3 x-4 \cos x-\sin 2 x+C\).
4. Bí quyết học toán
- Lắng nghe và ghi chép những thông tin hữu ích:
Một tiết học chỉ kéo dài 45', thường thi các bạn chỉ ghi chép những gì nêu trên bảng và thầy cô gợi ý. Tuy nhiên, có tới 80% những gì thầy cô yêu cầu bạn ghi chép đều có trong sách giáo khoa.
Trong khi đó những thứ thầy cô giảng để giúp các bạn hiểu bài hoặc giải thích quá trình tư duy để tìm ra được cách giải hay nhất thì các bạn lại chỉ ngồi nghe để rồi quên ngay sau đó. Vì vậy, các bạn hãy chú ý những gì thầy cô giảng để rút ra những gì hữu ích nhất cho bài giải của mình.
- Đừng bỏ qua phần lí thuyết
Với tâm lý, lý thuyết là những điều không quan trọng, các bạn chỉ tập trung vào giải các bài tập, bỏ qua những điều cơ bản mà lý thuyết cung cấp.
Nếu không nắm vững định nghĩa, lý thuyết, những điều cơ bản thì bạn chỉ có thể giải được những bài toán ở mức độ không quá khó và khi biến tấu đi một chút thì bạn lại gặp khó khăn trong cách giải của mình.
Một bài toán khó, toán mẹo là tổng hợp của những bài đơn giản. Nếu bạn không nắm vững điều cơ bản để giải toán một cách từ từ thì bạn khó có thể đạt được điểm cao ở môn toán
- Liên tục thực hành
Toán học cần có sự rèn luyện thật nhiều để thực hành trơn chu. Ở mỗi dạng bài tập cụ thể, bạn hãy làm quen với nhiều bài tập để thành thạo các bước và phương pháp giải.
Thực hành nhiều lần bạn sẽ tạo cho mình được một thói quen tốt cũng như những kinh nghiệm cần thiết khi tiếp cận với bất cứ dạng bài nào, ở mức độ nào
5' có ngay bộ đề 30 ngày cấp tốc
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều như nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình.
Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi chủ lực.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo cách giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Tiến hành Đăng ký và đăng nhập ngay nhé !!!
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!