5 dạng toán cơ bản của Cấp Số Nhân

1. Dạng 1: Chứng minh một dãy là một cấp số nhân

Phương pháp giải :

Cách 1. Chứng minh \(\forall n \geq 1 ; u_{n+1}=u_{n} q\) trong đó q là một số không đổi.

Cách 2.

Nếu \(u_{n} \neq 0\) với mọi \(\mathrm{n}\) thì ta lập tỉ số \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)

\(T\) là hằng số thì \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân có công bội \(q=T\).

\(T\) phụ thuộc vào \(n\) thì ( \(u_{n}\) ) không là cấp số nhân.

Cách 3. Chỉ ra tồn tại số \(\mathrm{k} \geq 2\) sao cho: \(\frac{u_{k+1}}{u_{k}} \neq \frac{u_{k}}{u_{k-1}}\)

Ví dụ : Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi: \(u_{n}=2^{2 n+1}\). Chứng minh \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân

Lời giải :

Ta có: \(u_{n+1}=2^{2(n+1)+1}=2^{2 n+3}\)

Xét tỉ số \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2^{2 n+3}}{2^{2 n+1}}=4\) ( không đổi)

\(\Rightarrow\) Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q=4\).

2. Dạng 2: Dùng định nghĩa cấp số nhân để giải bài toán

Phương pháp giải :

Cấp số nhân là một dãy số mà thương của hai số hạng liên tiếp là một hằng số.

\[\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=q \text { hay } u_{n+1}=u_{n} \cdot q\left(n \in N^{*}\right)\]

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Ví dụ : Cho \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số cộng có sáu số hạng với số hạng \(u_{1}=-2, d=3\). Viết dạng khai triển của cấp số cộng.

Lời giải :

Dạng khai triển của cấp số cộng là:

\[-2 ; 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13\]

3. Dạng 3: Tính chất 3 số hạng liên tiếp trong cấp số nhân

Phương pháp giải :

Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trù số hạng cuối đối với cấp số nhân hũu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy.

\[u_{n} ; u_{n+1} ; u_{n+2} \Leftrightarrow u_{n+1}^{2}=u_{n} \cdot u_{n+2}\left(n \in N^{*}\right)\]

Ví dụ : Tìm \(x\) sao cho \(x, x+2, x+3\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Lời giải:

Vì \(x, x+2\) và \(x+3\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta suy ra

\[\begin{array}{l}x(x+3)=(x+2)^{2} \\\Leftrightarrow x^{2}+3 x=x^{2}+4 x+4 \\\Leftrightarrow x=-4\end{array}\]

Thử lại, ta có ba số là \(-4 ;-2 ;-1\) thoả mãn bài toán.

\[\text { Vậy } x=-4 \text {. }\]

4. Dạng 4: Xác định số hạng tổng quát, công bội

Phương pháp giải :

Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\) thì ta có số hạng tổng quát : \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}, \forall n\gt 1\).

Trong đó,

\(u_{n}\) : số hạng tổng quát
\(u_{1}\) : số hạng đầu tiên
\(q\) : công bội
\(n\) : số số hạng

Ví dụ : Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{1}=2\) và \(u_{2}=-6\). Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Lời giải :

Ta có: \(\mathrm{q}=\frac{\mathrm{u}_{2}}{\mathrm{u}_{1}}=\frac{-6}{2}=-3\)

Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}=2 \cdot(-3)^{n-1}\)

5. Dạng 5: Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Phương pháp giải :

Giả sử \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q \neq 1\). Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}\), khi đó

\[S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\]

Chú ý: Khi \(q=1\) thì \(S_{n}=n . u_{1}\)

Ví dụ : Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi \(u_{n}=4^{\frac{n}{2}+2}\). Tính tổng \(\mathrm{S}=\mathrm{u}_{2}+\mathrm{u}_{4}+\mathrm{u}_{6}+. .+\mathrm{u}_{14}\)

Lời giải :

Ta có: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{4^{\frac{n+1}{2}+2}}{4^{\frac{n}{2}+2}}=2\) với mọi \(\mathrm{n}\).

\(\Rightarrow\)Dãy số ( \(u_{n}\) ) là cấp số nhân với \(u_{1}=32\) và công bội \(q=2\).

Các số \(u_{2} ; u_{4} ; u_{6} ; \ldots ; u_{14}\) lập thành cấp số nhân số hạng đầu \(u_{2}=u_{1} . q=64\) và công bội \(q^{\prime}=2 q=4\).

Tổng của 7 số hạng \(u_{2} ; u_{4} ; \ldots u_{14}\) là :

\(S=64 . \frac{1-4^{7}}{1-4}=349504\)

6. Sơ đồ tư duy

7. Luyện đề quan trọng như thế nào ?

Với các dạng bài tập mà Examon cung cấp ở trên mong rằng có thể giúp cho bạn hiểu hơn về cấp số nhân và có thể sử dụng thành thạo các công thức cấp số nhân giải các bài tập. Và đừng quên bên cạnh việc làm bài tập trong sách giáo khoa thì cần luyện tập thêm các bài tập trong các đề thi, đề kiểm tra. Bởi vì việc luyện tập bài tập trong các đề thi sẽ giúp cho bạn làm quen, nhận dạng được các bài toán.

Nhưng đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon