4 dạng tích phân hàm ẩn thường gặp

Biểu thức tích phân đưa về dạng : \(u(x) f^{\prime}(x)+u^{\prime}(x) f(x)=h(x)\)

Phương pháp : 

Ta có \(u(x) f^{\prime}(x)+u^{\prime}(x) f(x)=[u(x) f(x)]'\)

Do đó \(u(x) f^{\prime}(x)+u^{\prime}(x) f(x)=h(x) \Leftrightarrow[u(x) f(x)]^{\prime}=h(x)\)

Suy ra \(u(x) f(x)=\int h(x) d x\)

Suy ra được \(f(x)\)

Biểu thức tích phân đưa về dạng : \(f^{\prime}(x)+f(x)=h(x)\)

Phương pháp : 

Nhân hai vế với \(e^{x} \Rightarrow e^{x} \cdot f^{\prime}(x)+e^{x} \cdot f(x)=e^{x} \cdot h(x) \Leftrightarrow\left[e^{x} \cdot f(x)\right]'=e^{x} \cdot h(x)\)

Suy ra \(e^{x} \cdot f(x)=\int e^{x} h(x) d x\)

Suy ra được \(f(x)\)

Biểu thức tích phân đưa về dạng : \(f^{\prime}(x)-f(x)=h(x)\)

Phương pháp :

Nhân hai vế với \(e^{-x} \Rightarrow e^{-x} \cdot f^{\prime}(x)+e^{-x} \cdot f(x)=e^{-x} \cdot h(x) \Leftrightarrow\left[e^{-x} \cdot f(x)\right]'=e^{-x} \cdot h(x)\)

Suy ra \(e^{-x} \cdot f(x)=\int e^{-x} h(x) d x\)

Suy ra được \(f(x)\)

Biểu thức tích phân đưa về dạng : \(f^{\prime}(x)+p(x) f(x)=h(x)\)

Phương pháp :

Nhân hai vế với  \(e^{\int p(x) d x} \Rightarrow f^{\prime}(x) \cdot e^{\int p(x) d x}+p(x) . e^{\int p(x) d x} \cdot f(x)=h(x) \cdot e^{\int p(x) d x}\)

\(\Leftrightarrow\left[f(x) . e^{\int p(x) d x}\right]^{\prime}=h(x) \cdot e^{\int p(x) d x}\)

Suy ra \(f(x) \cdot e^{\int p(x) d x}=\int e^{\int p(x) d x} \cdot h(x) d x\)

Suy ra được \(f(x)\)

Công thức \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x\)

Bài 1: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 1]\), thoà mãn \(3 f(x)+x f^{\prime}(x)=x^{2018}\) với mọi \(x \in[0 ; 1]\). Tính \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\).

Lời giải

Từ giả thiết \(3 f(x)+x f^{\prime}(x)=x^{2018}\), nhân hai vế cho \(x^{2}\) ta được : 

\(3 x^{2} f(x)+x^{3} f^{\prime}(x)=x^{2020} \Leftrightarrow\left[x^{3} f(x)\right]^{\prime}=x^{2020} \text {. }\)

Suy ra \(x^{3} f(x)=\int x^{2020} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2021}}{2021}+C\).

Thay \(x=0\) vào hai vế ta được \(C=0 \Rightarrow f(x)=\frac{x^{2018}}{2021}\).

Vậy \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{2021} x^{2018} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2019} x^{2019}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2021 \times 2019}\).

Bài 2: Xét hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([0 ; 1]\) và thỏa mãn \(2 f(x)+3 f(1-x)=\sqrt{1-x}\). Tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng bao nhiêu ?

Lời giải

Sử dụng công thức \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x\)

Lấy tích phân 2 vế ta được \(2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x} \mathrm{~d} x\)

\(5 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{3} \Rightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{15} \text {. }\)

Bài 3: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 4]\), thỏa mãn \(f(x)+f^{\prime}(x)=e^{-x} \sqrt{2 x+1}\) với mọi \(x \in[0 ; 4]\). Tính giá trị \(e^{4} f(4)-f(0)\) 

Lời giải

Nhân hai vế cho \(e^{x}\) để thu được đạo hàm đúng, \(\mathrm{ta}\) được

\(e^{x} f(x)+e^{x} f^{\prime}(x)=\sqrt{2 x+1} \Leftrightarrow\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime}=\sqrt{2 x+1} \text {. }\)

Suy ra \(e^{x} f(x)=\int \sqrt{2 x+1} \mathrm{~d} x=\frac{1}{3}(2 x+1) \sqrt{2 x+1}+C\).

Vậy \(e^{4} f(4)-f(0)=\frac{26}{3}\).