10 câu trắc nghiệm lượng giác nâng cao

Câu 1: Số nghiệm thuộc \(\left[\frac{\pi}{14} ; \frac{69 \pi}{10}\right)\) của phương trình \(2 \sin 3 \mathrm{x} .\left(1-4 \sin ^{2} \mathrm{x}\right)=1\) là:

A. 40

B. 32

C. 38

D. 46

Đáp án C

+) TH1: Nếu \(\cos x=0\) thì \(\sin ^{2} x=1\)

+) \(\mathrm{TH} 2\) : Nếu \(\cos x \neq 0\) :

có 21 giá trị k và 17 giá trị h.

Vậy phương trình đã cho có tổng cộng có \(21+17=38\) nghiệm.

Câu 2: Các nghiệm thuộc khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) của phương trình \(\sin ^{3} x \cdot \cos 3 x+\cos ^{3} x \cdot \sin 3 x=\frac{3}{8}\)

A. \(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\)

B. \(\frac{\pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}\)

C. \(\frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}\).

D. \(\frac{\pi}{24}, \frac{5 \pi}{24}\)

Đáp án D

Phương trình \(\Leftrightarrow \sin ^{3} x \cdot \cos 3 x+\cos ^{3} x \cdot \sin 3 x=\frac{3}{8}\)

Do \(x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) nên nghiệm thuộc khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) của phương trình là \(\frac{\pi}{24}, \frac{5 \pi}{24}\).

Câu 3: Phương trình \(2 \sin \left(3 \mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 \mathrm{x} \cdot \cos ^{2} 2 \mathrm{x}}\) có nghiệm là:

A. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k \pi\end{array}\right.\).

B. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{12}+k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi\end{array}\right.\).

C. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{18}+k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{18}+k \pi\end{array}\right.\).

D. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{24}+k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{24}+k \pi\end{array}\right.\).

Đáp án B

Điều kiện \(1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x \geq 0\)

Thử lại điều kiện, \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{12}+k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi\end{array}\right.\) đều thoả mãn.

Câu 4: Tìm số nghiệm \(\mathrm{x} \in(0 ; \pi)\) của phương trình \(5 \cos \mathrm{x}+\sin \mathrm{x}-3=\sqrt{2} \sin \left(2 \mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right)\left({ }^{*}\right)\)A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án \(\mathbf{A}\)

Với \(2 \cos x-1=0 \Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}\)

Với \(\cos x+\sin x-2=0 \Leftrightarrow \sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2 \Leftrightarrow \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\) (vô nghiệm)

Vì:

Vây có duy nhất 1 nghiêm thỏa mãn là \(x=\frac{\pi}{3}\)

Câu 5: Tìm \(\mathrm{m}\) để phương trình \(2 \sin ^{2} \mathrm{x}-(2 \mathrm{~m}+1) \sin \mathrm{x}+\mathrm{m}=0\) có nghiệm \(\mathrm{x} \in\left(\frac{-\pi}{2} ; 0\right)\).

A. \(-1\lt \mathrm{m}\)

B. \(1\lt \mathrm{m}\)

C. \(-1\lt \mathrm{m}\lt 0\)

D. \(0\lt \mathrm{m}\lt 1\)

Đáp án \(\mathrm{C}\)

Với \(x \in\left(\frac{-\pi}{2} ; 0\right) \Rightarrow-1\lt \sin \mathrm{x}\lt 0\)

Đăt \(\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}\), phương trình đã cho trở thành:

Sin \(x=1 / 2\) không có nghiệm \(x\) thoả mãn đầu bài.

Để \(\sin \mathrm{x}=\mathrm{m}\) có nghiệm \(\mathrm{tm}\) đb thì \(-1\lt \mathrm{m}\lt 0\)( dùng đường tròn lượng giác).

Câu 6: Phương trình \(\sin ^{3} x+\cos ^{3} x+\sin ^{3} x \cdot \cot x+\cos ^{3} x \cdot \tan x=\sqrt{2 \sin 2 x}\) có nghiệm là:

A. \(x=\frac{\pi}{8}+k \pi\)

B. \(x=\frac{\pi}{4}+k \pi\)

C. \(x=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi\)

D. \(x=\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi\)

Đáp án B

Điều kiện: \(\sin 2 \mathrm{x}\gt 0\)

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x=\frac{\pi}{4}+k \pi\)

Câu 7:Phương trình \(\frac{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}{\sin 2 x}=\frac{1}{2}(\tan x+\cot x)\) có nghiệm là:

A. \(x=\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi\).

B. \(\mathrm{x}=\frac{\pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi\)

C. \(x=\frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2}\)

D.Vô nghiệm

Đáp án D

Điều kiện \(\sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \frac{\pi}{2}\)

So sánh điều kiện ta có phương trình vô nghiệm.

Câu 8: Cho phương trình \(\cos 2 \mathrm{x} \cdot \cos \mathrm{x}+\sin \mathrm{x} \cdot \cos 3 \mathrm{x}=\sin 2 \mathrm{x} \cdot \sin \mathrm{x}-\sin 3 \mathrm{x} \cdot \cos \mathrm{x}\) và các họ số thực:

I. \(x=\frac{\pi}{4}+\mathrm{k} \pi, k \in Z\).

II. \(x=\frac{-\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z\).

III. \(x=\frac{-\pi}{14}+\frac{k 2 \pi}{7}, k \in Z\).

IV. \(x=\frac{\pi}{7}+\frac{k 4 \pi}{7}, k \in Z\).Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là:

A. I, II

B. I, III

C. II, III

D. II, IV.

Đáp án C

Vì \(x=\frac{-\pi}{2}+k 2 \pi\) nên (II) đúng

Từ \(x=\frac{3 \pi}{14}+\frac{k 2 \pi}{7}\), so sánh với nghiệm \(x=-\frac{\pi}{14}+\frac{2 \pi l}{7}\) như sau:

+ Ta thấy \(x=-\frac{\pi}{14}+\frac{2 \pi l}{7}\) họ nghiệm này khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác đều được 7 điểm.

+ Cho \(\frac{3 \pi}{14}+\frac{k 2 \pi}{7}=-\frac{\pi}{14}+\frac{2 \pi l}{7} \Leftrightarrow k-l=-1\). 

Điều này có nghĩa, ứng với một số nguyên \(\mathrm{k}\) luôn có một số nguyên 1

Do đó 2 họ nghiệm \(x=\frac{3 \pi}{14}+\frac{k 2 \pi}{7}\) và \(x=-\frac{\pi}{14}+\frac{2 \pi l}{7}\) là bằng nhau.

Câu 9:Tổng các nghiệm thuộc khoảng \((0 ; 2018)\) của phương trình \(\sin ^{4} \frac{x}{2}+\cos ^{4} \frac{x}{2}=1-2 \sin x\) là

A. \(207046 \pi\)

B. \(206403 \pi\)

C. \(205761 \pi\)

D. \(204603 \pi\)

Đáp án \(B\)

Phương trình \(\Leftrightarrow\left(\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}\right)^{2}-2 \sin ^{2} \frac{x}{2} \cos ^{2} \frac{x}{2}=1-2 \sin x\)

Vậy tổng các nghiệm cần tìm là:

Câu 10: Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình \(4 \sin ^{3} x-\sin x-\cos x=0\) bằng:

A. \(\frac{5 \pi}{2}\)

B. \(-\frac{5 \pi}{2}\)

C. \(-\frac{5 \pi}{4}\)

D. \(-\pi\)

Đáp án \(B\)

+ Trường hợp 1: \(\cos x=0 \Leftrightarrow \sin ^{2} x=1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sin x=1 \\ \sin x=-1\end{array}\right.\)Với \(\sin \mathrm{x}=1 \Rightarrow\) phương trình \(3=0\) (vô nghiệm).

Với \(\sin x=-1 \Rightarrow\) phương trình \(5=0\) (vô nghiệm).

Vậy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình.

+ Trường hợp 2. \(\cos x \neq 0\). chia cả hai vế cho \(\cos ^{3} x\) ta được:

Phương trình \(\Leftrightarrow 4 \cdot \frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{3} x}-\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}-\frac{1}{\cos ^{2} x}=0\)

Với \(k=-1 \Rightarrow x=-\frac{3 \pi}{4}\).

Với \(k=-2 \Rightarrow x=-\frac{7 \pi}{4}\).

Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là \(-\frac{3 \pi}{4}-\frac{7 \pi}{4}=-\frac{5 \pi}{2}\)