Ứng dụng cấp số nhân trong thực tế

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi \(q\). Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi

Đặc biệt : 

Khi \(q=0\) thì cấp số nhân có dạng \(u_{1}, 0,0,0, \ldots, 0, \ldots\)

Khi \(q=1\) thì cấp số nhân có dạng \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\)

Khi \(u_{1}=0\) thì cấp số nhân có dạng \(0,0,0,0, \ldots, 0, \ldots\)

Nếu cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(\left(u_{n}\right)\) được xác định bởi công thức : \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(n \geq 2\)

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\). 

Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\).

Khi đó \(S_{n}=\frac{u_{1} \cdot\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\)

• Tính tống số nucleotit môi trường cung cấp cho quá trình nhân đôi ADN (Gen).

- Khi gen nhân đôi một lần .

- Khi gen nhân đôi k lần thì sẽ̃ có:

\(\mathrm{N}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{N} \cdot\left(2^{\mathrm{k}}-1\right)\)

\(\mathrm{A}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{T}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{T}\left(2^{\mathrm{k}}-1\right)=\mathrm{A}\left(2^{\mathrm{k}}-\right.\)1)

\(\mathrm{G}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{X}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{G}\left(2^{\mathrm{k}}-1\right)=\mathrm{X}\left(2^{\mathrm{k}}-\right.\)1)

• Tính tổng số liên kết H hình thành và phá vỡ trong quá trình nhân đôi ADN (Gen)

- Tổng số liên kết H bị phá vỡ trong quá trình nhân đôi \(\mathrm{k}\) lần :

- Tổng số liên kết \(\mathrm{H}\) được hình thành trong quá trình nhân đôi \(\mathrm{k}\) lần:

\(\mathrm{H}\left(2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{\mathrm{k}}\right)=2\mathrm{H}\left(2^{\mathrm{k}}-1\right)\)

Bài 1: Một gen có chiều dài 5270A0. Gen nhân đôi 5 lần, số nucleotit cung cấp cho quá trình nhân đôi của gen đó là bao nhiêu?

Giải

Số nucleotit trong gen đó là:

\((5270: 3,4) \cdot 2=3100(\mathrm{Nu})\)

Số nucleotit môi trường cung cấp cho quá trình nhân đôi là:

\(3100 \cdot\left(2^{5}-1\right)=3100 \cdot 31=\)96100(Nu)

• Tính khối lượng nguyên tố phóng xạ \(X\) còn lại sau k chu kì bán rã 

Già sử ban đầu có \(\mathrm{m}_{0} \mathrm{~g}\) nguyên tố phóng xạ \(\mathrm{X}\).

Sau \(\mathrm{k}\) chu kì bán rã khối lượng còn lại :

Nếu thời gian phân rã t, chu kì phân rã T thì \(\mathrm{k}=\frac{t}{T}\).

Vậy sau \(t\) thời gian phân rã khối lượng còn lại:

• Tính số hạt nhân còn lại sau thời gian t phân rã

Giả sử số hạt nhân ban đầu \(\mathrm{N}_{0}\)

Số hạt nhân còn lại : \(\mathrm{N}=\mathrm{N}_{0} .2^{-\frac{t}{T}}\)

• Tính độ phóng xạ của mấu chất phóng xạ còn lại sau thời gian t phân rã

• Xác định tuổi của mẫu vật có chứa chất phóng xạ

• Áp dụng để tính số dân sau n năm 

Bài tập : Theo cục thống kê năm 2003 Việt Nam có 80.902 .400 người và tỉ lệ tăng dân số hàng năm là \(1.47%\)%. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì năm 2016 Việt Nam sẽ có số dân là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Gọi \(\left( n \in N^{\ast} \right )\) là dân số năm thống kê

\(q\) là tỉ lệ tăng hàng năm 

\(u_{n}\)là tổng số dân sau n năm 

Ta có :

Tổng số dân sau một năm là \(u_{1}=u_{0}+u_{0} \cdot q=u_{0}(1+q)\)

Tổng số dân sau hai năm là : \(u_{2} = u_{1} + u_{1} \cdot q = u_{1} \left( 1 + q \right ) = u_{0} \left( 1 + q \right )^{2}\)

Tồng số dân sau ba năm là: \(u_{3}=u_{2}+u_{2} \cdot q=u_{2}(1+q)=u_{0}(1+q)^{3}\)

Như vậy, tổng số dân sau mỗi năm lập thành cấp số nhân với công bội \(1+q\) và \(u_{1}=u_{0}(1+q)\)

Tồng số dân sau \(n\) năm là : \(u_{n}=u_{1}(1+q)^{n-1}=u_{0}(1+q)(1+q)^{n-1}=u_{0}(1+q)^{n}\)

Vậy \(u_{n}=u_{0}(1+q)^{n}(3)\)

Giải:

Dân số Việt Nam năm 2016 là:

• Cấp số nhân còn được sử dụng để tính toán các bài toán của chăn nuôi nhu sau: 

Trong chăn nuôi, thông thường người ta cần giải quyết hai bài toán sau: 

+ Tính số lượng gia súc sau mỗi kỳ chăn nuôi từ tỉ lệ tăng đàn từng kỳ và số gia súc ban đầu .

+ Tính số gia súc đầu kỳ các năm về trước nếu biết số lượng đàn gia súc và tì lệ tăng đàn hàng năm.

•  Sử dụng cấp số nhân để giải bài toán lãi ngân hàng

Giả sử bạn có một khoản tiền \(A\) đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với lãi suất cố định là r trong một năm. Sau một năm bạn sẽ có cả gốc lẫn lãi là \(B_{1}=A+(\) tiền lãi \()=A+r \cdot A=A \cdot(1+r)\).Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ đ̛ươc nhân thêm bội số \((1+r)\).Như vậy số tiền sau mỗi năm mà bạn có lâp thành môt cấp số nhân với \(q=1+r\).Goi \(B_{n}\) là số tiền bạn có sau n năm thì : \(B_{n}=A(1+r)^{n} \cdot\) (1)