Tích phân liên kết - Bài tập và phương pháp giải

Trương Hồng Hạnh

Ở bài viết dưới đây Examon sẽ giới thiệu cho bạn một loại tích phân đặc biệt - Tích phân liên kết.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Lý thuyết cần nhớ
  • 2. Phương pháp chung
  • 3. Bài tập minh họa
    • 3.1. Bài tập 1
    • 3.2. Bài tập 2
    • 3.3. Bài tập 3
  • 4. Phương pháp học đúng là như thế nào ?

Có rất nhiều bài toán tích phân ta không thể sử dụng cách tính trực tiếp hoặc tính trực tiếp tương đối khó, với những bài toán như vậy ta thường sử dụng tới một phương pháp đó là tìm tích phân liên kết. 

Vậy các bạn đã biết đến cách áp dụng tích phân liên kết vào các bài toán chưa? Để tìm câu trả lời thì hãy xem qua bài viết dưới đây của Examon.

banner

1. Lý thuyết cần nhớ

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).

Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

trong đó : 

\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,

\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên, 

\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân

\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

2. Phương pháp chung

Bước 1 : Xét tích phân \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x\), ta sẽ tìm liên kết với tích phân \(K=\int_{a}^{b} g(x) d x\) và tìm các mối liên hệ giữa \(\mathrm{I}, \mathrm{K} . \) 

Bước 2 : Thiết lập mối liên hệ giữa \(\mathrm{I}, \mathrm{K}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{CI}+\mathrm{dK}=\mathrm{m} \\ \mathrm{eI}+\mathrm{vK}=\mathrm{n}\end{array}\right.\)

Bước 3 : Giải hệ này ta sẽ tìm được cả \(\mathrm{I}\) và \(\mathrm{K}\).

Một số trường hợp đặc biệt

+) Hai tích phân \(\mathrm{I}=\mathrm{K}\), tính được \(\mathrm{I}+\mathrm{K}\) từ đó suy ra \(I\).

+) \(K\) là một tích phân tính đơn giản, khi đó từ \(\mathrm{mI}+\mathrm{nK}=\mathrm{a}\) ta sẽ tính được \(I\).

3. Bài tập minh họa

3.1. Bài tập 1

Bài 1 : Tính tích phân sau : \(\mathrm{I}=\int_{0}^{1} \frac{d x}{\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+3}\)

Lời giải 

Ta chọn tích phân liên kêt \(\mathrm{K}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}} \mathrm{dx}}{\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+3}=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}\right)}{\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+3}=\left.\frac{1}{2} \ln \left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+3\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{\mathrm{e}^{2}+3}{4}\right)\)

Ta có :

 \(3 \mathrm{I}+\mathrm{K}=\int_{0}^{1} \mathrm{dx}=1 \Rightarrow \mathrm{I}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6} \ln \left(\frac{\mathrm{e}^{2}+3}{4}\right)\)

3.2. Bài tập 2

Bài 2 : Tính tích phân sau : \(I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}+1}{x^{6}+1} d x\)

Lời giải

Ta chọn \(\mathrm{K}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{x}^{6}+1} \mathrm{dx}\)

\(I-K=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}-x^{2}+1}{x^{6}+1} d x=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} d x=\left.\arctan x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}\)

Mà \(\mathrm{K}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{x}^{6}+1} \mathrm{dx}=\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{3}\right)}{\left(\mathrm{x}^{3}\right)^{2}+1}=\left.\frac{1}{3} \arctan \mathrm{x}^{3}\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{12}\)

Vậy \(I=\frac{\pi}{3}\)

3.3. Bài tập 3

Bài 3 : Tính \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2 x \sin ^{2} x d x\)

Lời giải

Tích phân liên kết là : 

\(K=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2 x \cos ^{2} x d x\)Ta có: \(\mathrm{I}+\mathrm{K}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2 \mathrm{xdx}=\left.\frac{1}{2} \sin 2 x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Mặt khác ta lại có:

\[\mathrm{K}-\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos ^{2} 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(1+\cos 4 x) \mathrm{d} x=\left.\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\]

Từ đây suy ra được \(I=\frac{1}{8}\left(\frac{3 \sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{3}\right)\)

4. Phương pháp học đúng là như thế nào ?

Từ những nền tảng lý thuyết đến các phương pháp tính toán, tích phân liên kết đã phương pháp quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phức tạp mà tích phân thông thường không thể đáp ứng. Hi vọng rằng thông qua bài viết, các bạn có thể bổ sung thêm cho mình một phương pháp làm cho bài toán tích phân trở nên đơn giản.

image.png
Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

 

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGKTiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP7
Bài 1. Mệnh đề toán học3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp3
Bài tập cuối chương I1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn3
Bài tập cuối chương II1

 

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Phân phối chương trình SGK Toán 10 KNTT

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%

Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? 

Mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh