Giải phương trình bậc nhất với sinx và cosx

Phạm Linh

Bài này sẽ giúp các bạn học sinh lớp 11 biết cách giải phương trình bậc nhất vừa có sinx và cosx. Cùng Exmon tìm hiểu nhé.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
  • 2. Ví dụ minh họa
  • Ví dụ 1:
    • Ví dụ 1:
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 2:
    • Ví dụ 2:
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 3:
    • Ví dụ 3:
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 4:
    • Ví dụ 4:
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 5:
    • Ví dụ 5:
    • Đáp án và lời giải
  • Lời kết
  • Toán khó đã có Examon

Giải phương trình bậc nhất theo sinx và cosx là dạng bài phổ biến ở bậc THPT và đại học. Dạng bài này yêu cầu học sinh hoặc sinh viên giải các phương trình mà trong đó các hàm số lượng giác như sinx và cosx xuất hiện trong các biểu thức bậc nhất. Vì vậy các bạn cần nắm phương thức giải để có thể học tốt hơn khi gặp dạng toán lượng giác này.

banner

1. Phương pháp giải

+ Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) có dạng: \(a\)\(\sin x+b \cos x=c\)

Trong đó; \(a, b\) và \(c\) là hằng số.

+ Cách giải phương trình:

- Cách 1: 

Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ta được :\(a.\sin \mathrm{x}+\mathrm{b} \cdot \cos \mathrm{x}=\mathrm{c} \Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cdot \sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cdot \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)Đặt \(\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} ; \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}(\alpha \in[0 ; 2 \pi])\)Phương trình trờ thành: \(\cos \alpha \cdot \sin x+\sin \alpha \cdot \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) \(\Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: \(\left|\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right| \leq 1\) hay \(a^{2}+b^{2} \geq c^{2}\)

- Cách 2:

+ Xét \(\mathrm{x}=\pi+k 2 \pi\) hay \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k \pi\) có là nghiệm của phương trình .

+ Xét \(x \neq \pi+k 2 \pi \Leftrightarrow \cos ^{\frac{x}{2}} \neq 0\)

Đặt: \(t=\tan \frac{x}{2}=\gt \sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}} ; \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\) thay vào phương trình đã cho ta được phương trình bậc hai ần \(\mathrm{t}\).

\[(\mathrm{b}+\mathrm{c}) \mathrm{t}^{2}-2 \mathrm{at}+\mathrm{c}-\mathrm{b}=0 (3)\]

Vì \(x \neq \pi+k 2 \pi\) nên \(\mathrm{b}+\mathrm{c} \neq 0\)

=>Phương trình (3) có nghiệm khi:

\[\Delta^{\prime}=a^{2}-\left(c^{2}-b^{2}\right) \geq 0 \text { hay } \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2} \geq \mathrm{c}^{2}\]

Giải ( 3 ); với mỗi nghiệm \(\mathrm{t}_{0}\); ta có phương trình \(\tan \frac{x}{2}=t_{0}\)

* Chú ý:

+ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

+ Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là \(\mathrm{a} 2+\mathrm{b} 2 \geq \mathrm{c} 2\)

+ Bất đẳng thức bunhia xcopski:

\[|y|=|a \cdot \sin x+b \cdot \cos x| \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\]

\(\Rightarrow \min \mathrm{y}=-\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) và \(\max \mathrm{y}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\frac{\sin x}{a}=\frac{\cos x}{b}\) hay \(\tan x=\frac{a}{b}\)

2. Ví dụ minh họa

Dưới đây là một số ví dụ trắc nghiệm minh họa hướng dẫn giải dạng bài giải phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

Ví dụ 1:

Ví dụ 1:

Nghiệm của phương trình \(\sin x+\cos x=1\) là:

A. \(\left[\begin{array}{c}x=k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{c}x=k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

C. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

Đáp án và lời giải

Ta có:

 \(\sin x+\cos x=1\)

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \\\Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi}{4} \\\Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { x + \frac { \pi } { 4 } = \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi } \\{ x + \frac { \pi } { 4 } = \pi - \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=k 2 \pi \\x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Chọn A.

Ví dụ 2:

Ví dụ 2:

Nghiệm của phương trình \(\sqrt{3} \sin x+\cos x=\sqrt{2}\) là:

A. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{7 \pi}{6}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi \\ x=\frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

C. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{12}+k 2 \pi \\ x=\frac{7 \pi}{12}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{12}+k 2 \pi \\ x=\frac{7 \pi}{3}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

Đáp án và lời giải

Ta có:

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow\sqrt{3} \sin x+\cos x=\sqrt{2} \\\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\Leftrightarrow \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin x+\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos x=\sin \frac{\pi}{4} \\\Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{4} \\\Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { x + \frac { \pi } { 6 } = \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi } \\{ x + \frac { \pi } { 6 } = \pi - \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{12}+k 2 \pi \\x=\frac{7 \pi}{12}+k 2 \pi\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Chọn C.

Ví dụ 3:

Ví dụ 3:

Nghiệm của phương trình \(-\sin x-\sqrt{3} \cos x=0\) là:

A. \(\mathrm{x}=\frac{\pi}{3}+k \pi\)

B. \(\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}+k \pi\)

C. \(\mathrm{x}=-\frac{\pi}{6}+k \pi\)

D. \(\mathrm{x}=\frac{\pi}{6}+k \pi\)

Đáp án và lời giải

Ta có:

\[\begin{array}-\sin \mathrm{x}-\sqrt{3} \cos x=0 \\\Leftrightarrow \sin \mathrm{x}+\sqrt{3} \cos x=0 \\\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x=0 \\\Leftrightarrow \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x+\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x=0 \\\Leftrightarrow \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0 \\\Leftrightarrow \mathrm{x}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k \pi \Leftrightarrow \mathrm{x}=\frac{\pi}{6}+k \pi\end{array}\]

Chọn D

Ví dụ 4:

Ví dụ 4:

Giải phương trình: \(\sqrt{2} \cos x-\sqrt{2} \sin x=0\)

A. \(x=\pi / 8+k . \pi\)

B. \(x=\pi / 3+k .2 . \pi\)

C. \(x=\pi / 4+k . \pi\)

D. \(x=\pi / 2+k . \pi\)

Đáp án và lời giải

Ta có:

\[\begin{array}{l} \sqrt{2} \cos x-\sqrt{2} \sin x=0 \\\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x=0 \\\Leftrightarrow \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x-\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x=0 \\\Leftrightarrow \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{4}-x=k \pi \\\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}-k \cdot \pi\end{array}\]

Chọn C.

Ví dụ 5:

Ví dụ 5:

Nghiệm của phương trình \(\sqrt{3} \sin x+\cos x=-2\) là:

A. \(\frac{\pi}{6}+k \pi\)

B. \(\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\)

C. \(\frac{4 \pi}{3}+k 2 \pi\)

D. \(\frac{4 \pi}{3}+k \pi\)

Đáp án và lời giải

Ta có:

\[\begin{array}{l}\sqrt{3} \sin x+\cos x=-2 \\\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin x+\frac{1}{2} \cdot \cos x=-1 \\\Leftrightarrow \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin x+\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos x=-1 \\\Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-1 \\\Leftrightarrow \mathrm{X}+\frac{\pi}{6}=\frac{3 \pi}{2}+k \pi \\\Leftrightarrow \mathrm{X}=\frac{4 \pi}{3}+k \pi\end{array}\]

Chọn D.

Lời kết

Dạng bài giải phương trình bậc nhất với sinx và cosx tuy cách làm dễ nhưng thường quên điều kiện bài dẫn đến kết quả bị sai. Vì vậy khi làm những dạng bài như này cần đặc biệt chú ý tới điều kiện.

Bộ đề ôn cấp tốc 30 ngày cùng Examon
Bộ đề ôn cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Toán khó đã có Examon

Làm toán không chỉ học công thức hay đơn thuần học cách làm bài mà còn là học những mẹo làm bài giúp làm giảm thiểu lỗi sai khi gặp phải hay những cách xử lý bài toán nhanh gọn lẹ nhất. Và nếu bạn chưa biết những mẹo ấy thì đã có Examon ở đây chỉ cho bạn.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!