Tính tổng của cấp số nhân
Cấp số nhân ẩn chứa quy luật tăng/giảm độc đáo, Examon hé mở bí mật về tính tổng số hạng bằng công thức. Khám phá ngay!
Mục lục bài viết
Toán học, tựa như một bản giao hưởng đầy mê hoặc, ẩn chứa vô vàn giai điệu và tiết tấu. Trong đó, cấp số nhân nổi lên như một nốt trầm hùng tráng lệ, mang theo quy luật bội số đầy thú vị. Tìm hiểu cách tính tổng của cấp số nhân chính là hành trình khám phá giai điệu ấy.
Khác với cấp số cộng, nơi mỗi số hạng sau hơn số hạng trước một hằng số, cấp số nhân mang một nét đẹp riêng biệt với quy luật tăng trưởng (hoặc giảm) theo từng tỷ lệ nhất định. Hiểu được bản chất của cấp số nhân không chỉ giúp ta giải quyết các bài toán hóc búa mà còn mở ra cánh cửa khám phá những ứng dụng thực tế đầy tiềm năng.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các công thức liên quan cấp số nhân (công thức truy hồi, số hạng tổng quát, công thức tính tổng) và cách áp dụng vào các bài toán cụ thể. Nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin chinh phục những thử thách về cấp số nhân và mở rộng tư duy logic, sáng tạo của bản thân.
Công thức sẽ cho phép ta tính toán tổng của cấp số nhân một cách nhanh chóng và chính xác, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến lãi suất kép, dãy số Fibonacci, hay mô hình tăng trưởng dân số.
Hiểu rõ về cấp số nhân và cách tính tổng của nó không chỉ mang lại lợi ích cho việc học tập toán học mà còn mở ra cánh cửa khám phá những ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Hãy sẵn sàng cùng Examon dấn thân vào thế giới đầy hấp dẫn của cấp số nhân và khám phá bí ẩn về tổng của chúng!
1. Công thức cần nhớ
- Với \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\), số hạng đầu \(u_{1}\) , ta có
+ Công thức truy hồi: \(u_{n+1}=u_{n} q\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
+ Số hạng tổng quát : \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(n \geq 2 \text {. }\)
+ \(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}\) với \(k \geq 2 \text {. }\)
- Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\).
Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\).
Khi đó \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).
Chú ý: Nếu \(q=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\) khi đó \(S_{n}=n u_{1}\).
2. Bài tập thực hành
2.1. Bài 1
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(\frac{1}{4} ; \frac{1}{2} ; 1 ; \cdots ; 2048\). Tính tổng \(S\) của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.
Lời giải
Cấp số nhân đã cho có
\(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=\frac{1}{4} \longrightarrow 2048=2^{11}=u_{1} q^{n-1}=\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}=2^{n-2} \Leftrightarrow n=13 . \\ q=2\end{array}\right.\)
Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng. Vậy
\[S_{13}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{13}}{1-q}=\frac{1}{4} \cdot \frac{1-2^{13}}{1-2}=2047,75 \]2.2. Bài 2
Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\), số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048 ?
Lời giải
Theo bài ra ta có \(u_{1}=\frac{1}{2}, u_{4}=32\) và \(u_{n}=2048\).
\[\begin{array}{l}u_{4}=u_{1} \cdot q^{3} \Rightarrow 32=\frac{1}{2} \cdot q^{3} \Rightarrow q=4 \\u_{n}=2048 \Rightarrow u_{1} \cdot q^{n-1}=2048 \Rightarrow 4^{n-1}=4^{6} \Rightarrow n=7\end{array}\]Khi đó tổng của cấp số nhân này là \(S_{7}=\frac{u_{1}\left(1-q^{7}\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-4^{7}\right)}{1-4}=\frac{5461}{2}\).
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
