Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất \(1,2 \%\) / tháng để mua xe ô tô. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì người đó bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 20 triệu đồng cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 20 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng? Biết rằng lãi suất không thay đồi.
A.
30 tháng.
B.
26 tháng.
C.
29 tháng.
D.
32 tháng.
Giải thích:
Sau 1 tháng dư nợ là: \(N_{1}=N(1+r)-m\) với \(N=500\) triệu đồng, \(r=0,012, m=20\) triệu đồng.
Sau 2 tháng dư nợ là: \(N_{2}=N_{1}(1+r)-m=N(1+r)^{2}-m[1+(1+r)]\).
Sau tháng thứ \(n\) dư nợ là:
\(\begin{aligned}N_{n} & =N(1+r)^{n}-m\left[1+(1+r)+(1+r)^{2}+\ldots+(1+r)^{n-1}\right] \\& =N(1+r)^{n}-m\left[\frac{1 .(1+r)^{n}-1}{1+r-1}\right]=\left(N-\frac{m}{r}\right)(1+r)^{n}+\frac{m}{r} .\end{aligned}\)Người đó trả hết nợ ngân hàng khi dư nợ bằng 0 nên ta có:
\(\left(N-\frac{m}{r}\right)(1+r)^{n}+\frac{m}{r}=0 \Leftrightarrow(1+r)^{n}=\frac{m}{m-N r} \Leftrightarrow 1,012^{n}=\frac{20}{20-500.0,012} \Leftrightarrow 1,012^{n}=\frac{10}{7}\)\(\Leftrightarrow n=\log _{1,012} \frac{10}{7} \Leftrightarrow n \approx 29,90\).
Vậy sau 30 tháng người đó trả hết nợ ngân hàng.
Câu hỏi này nằm trong: