Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}(3 x+1)^{2}+4 \sqrt{y}=y^{2}+4 \sqrt{3 x+1}~~~(1) \\ 3 x y=4 x+4+2 \sqrt{x+3}~~~~(2)\end{array}\right.\)
Giải thích:
Điều kiện \(\left\{\begin{array}{l}y \geq 0 \\ x \geq-\frac{1}{3}\end{array}\right.\)
(1) \(\Leftrightarrow(3 x+1)^{2}-4 \sqrt{3 x+1}=y^{2}-4 \sqrt{y}(*)\)
xét hàm số \(f(t)=t^{4}-4 t(t \in[0 ;+\infty))\); từ \(\left({ }^{*}\right)\) ta có \(f(\sqrt{3 x+1})=f(\sqrt{y})\)
\(f^{\prime}(t)=4 t^{3}-4 ; f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t=1\)
bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy : hàm số nghịch biến trên \([0 ; 1]\); đồng biến trên \([1 ;+\infty)\)
+ Nếu \(\sqrt{3 x+1}\) và \(\sqrt{y}\) cùng thuộc \([0 ; 1]\) hoặc \([1 ;+\infty)\) thì ta có \(\sqrt{3 x+1}=\sqrt{y} \Leftrightarrow y=3 x+1\) thay vào (2) ta có:
\(3 x(3 x+1)=4 x+4+2 \sqrt{x+3} \Leftrightarrow 9 x^{2}=x+4+2 \sqrt{x+3} \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { 3 x = \sqrt { x + 3 } + 1 } \\{ 3 x = - \sqrt { x + 3 } - 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1 \\y=4\end{array}\right.\right.~ \text {(thỏa mãn) }\)+ Nếu \(\sqrt{3 x+1}\) và \(\sqrt{y}\) không cùng thuộc \([0 ; 1]\) hoặc \([1 ;+\infty)\) thì
\((\sqrt{3 x+1}-1)(\sqrt{y}-1) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{3 x}{\sqrt{3 x+1}+1} \cdot \frac{y-1}{\sqrt{y}+1} \leq 0 \Leftrightarrow x(y-1) \leq 0\)Từ \((2) \Leftrightarrow 3 x(y-1)=(\sqrt{x+3}+1)^{2}\gt 0\) vô lý. Vậy hệ có 2 nghiệm \((x ; y)\) là \((1 ; 4)\)
Câu hỏi này nằm trong: