Hai điện tích dương \(q_{1}=q_{2}=q\) đặt tại 2 điểm \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) trong không khí. Cho biết \(\mathrm{AB}=2 \mathrm{a} . \mathrm{M}\) là điểm trên trung trực AB và cách AB đoạn x . Định x để cường độ điện trường tại M cực đại. Tính giá trị cực đại này.
A.
\(x=\frac{a \sqrt{2}}{2}\)
B.
\(x=\frac{a \sqrt{3}}{2}\)
C.
\(x=a \sqrt{2}\)
D.
\(x=\frac{a}{2}\)
Giải thích:
Gọi \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{1}, \overrightarrow{\mathrm{E}}_{2}\) lần lượt là cường độ điện trường do điện tích \(\mathrm{q}_{1}\) và \(\mathrm{q}_{2}\) gây ra tại M
+ Vì độ lớn hai điện tích bằng nhau và điểm \(M\) cách đều hai điện tích nên:
\(E_{1}=E_{2}=k \frac{|q|}{r^{2}}=k \frac{|q|}{M H^{2}+H A^{2}}=k \frac{q}{x^{2}+a^{2}}\)+ Các vectơ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{1}, \overrightarrow{\mathrm{E}}_{2}\) được biểu diễn như hình
+ Vì \(\mathrm{E}_{1}=\mathrm{E}_{2}\) nên hình \(\mathrm{ME}_{1} \mathrm{EE}_{2}\) là hình thoi nên: \(\mathrm{ME}=2 . \mathrm{ME}_{1} \cos \alpha\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow E=2 \cdot E_{1} \cos \alpha=2 k \frac{q}{x^{2}+a^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \\\Leftrightarrow E=\frac{2 k q x}{\sqrt{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3}}}=\frac{2 k q x}{\sqrt{\left(\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}+x^{2}\right)^{3}}}\end{array}\)Theo Cô-si: \(\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}+\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}+\mathrm{x}^{2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{\mathrm{a}^{2}}{2} \cdot \frac{\mathrm{a}^{2}}{2} \cdot \mathrm{x}^{2}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}+\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}+\mathrm{x}^{2}\right)^{3}=\frac{27}{4} \mathrm{a}^{4} \mathrm{x}^{2}\)Vậy: \(E_{\max }=\frac{2 k q}{\frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}}=\frac{4 k q}{3 \sqrt{3} a^{2}}\)
\(\text { khi } \frac{\mathrm{a}^{2}}{2}=\mathrm{x}^{2} \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{2}}{2}\)Câu hỏi này nằm trong: