Trong mặt phẳng toạ độ \(O x y\), cho tam giác \(A B C\) có \(A(3 ; 4)\), đường trung trực cạnh \(B C\) có phương trình \(3 x-y+1=0\), đường trung tuyến kẻ từ \(C\) có phương trình \(2 x-y+5=0\).
c) Tọa độ đỉnh \(C\) là \(C(-1 ; 3)\)
A.
B.
Giải thích:
Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(B C\). Vì \(M\) nằm trên đường trung trực cạnh \(B C\) nên giả sử \(M(t ; 3 t+1)\).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\). Vì \(G\) nằm trên đường trung tuyến kẻ từ \(C\) nên giả sử \(G(s ; 2 s+5)\).
Ta có: \(\overrightarrow{A M}=(t-3 ; 3 t-3), \overrightarrow{A G}=(s-3 ; 2 s+1)\). Khi đó
\[\overrightarrow{A M}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A G} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { t - 3 = \frac { 3 } { 2 } ( s - 3 ) } \\{ 3 t - 3 = \frac { 3 } { 2 } ( 2 s + 1 ) }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { 2 t - 3 s = - 3 } \\{ 6 t - 6 s = 9 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{15}{2} \\s=6 .\end{array}\right.\right.\right.\]Suy ra \(M\left(\frac{9}{2} ; \frac{39}{2}\right)\)
Đường thẳng \(B C\) đi qua \(M\left(\frac{9}{2} ; \frac{39}{2}\right)\) và vuông góc với đường thẳng \(3 x-y+1=0\) nên ta có phương trình đường thẳng \(B C\) là: \(1 \cdot\left(x-\frac{9}{2}\right)+3 \cdot\left(y-\frac{39}{2}\right)=0 \Leftrightarrow x+3 y-63=0\)
Toạ độ đỉnh \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{array}{l}x+3 y-63=0 \\ 2 x-y+5=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{48}{7} \\ y=\frac{131}{7} .\end{array}\right.\right.\)
Suy ra \(C\left(\frac{48}{7} ; \frac{131}{7}\right)\). Vì \(M\) là trung điểm \(B C\) nên \(B\left(\frac{15}{7} ; \frac{142}{7}\right)\)
Câu hỏi này nằm trong: