Một mảnh đất hình chữ nhật \(A B C D\) có chiều dài \(A B=25 \mathrm{~m}\), chiều rộng \(A D=20 m\) được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn \(M N(M, N\) lần lượt là trung điểm \(B C\) và \(A D\)). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ \(A\) đến \(C\) qua vạch chắn \(M N\), biết khi làm đường trên miền \(A B M N\) mỗi giờ làm được \(15 \mathrm{~m}\) và khi làm trong miền \(C D N M\) mỗi giờ làm được \(30 \mathrm{~m}\). Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ \(A\) đến \(C\).
Giải thích:
Giả sử con đường đi từ \(\mathrm{A}\) đến \(\mathrm{C}\) gặp vạch chắn \(\mathrm{MN}\) tại \(\mathrm{E}\) đặt \(N E=x(m)(x \in[0 ; 25]) \Rightarrow A E=\sqrt{x^{2}+10^{2}}\);
\(C E=\sqrt{(25-x)^{2}+10^{2}}\)Thời gian làm đường đi từ \(\mathrm{A}\) đến \(\mathrm{C}\) là \(t(x)=\frac{A E}{15}+\frac{C E}{30}=\frac{\sqrt{x^{2}+100}}{15}+\frac{\sqrt{(25-x)^{2}+100}}{30}(h)\)
\(t^{\prime}(x)=\frac{x}{15 \sqrt{x^{2}+100}}-\frac{(25-x)}{30 \sqrt{(25-x)^{2}+100}}\)\(\begin{array}{l}t^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 2 x \sqrt{(25-x)^{2}+100}=(25-x) \sqrt{x^{2}+100} \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x(25-x) \geq 0 \\4 x^{2}\left[(25-x)^{2}+100\right]=(25-x)^{2}\left(x^{2}+100\right)\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 0 \leq x \leq 2 5 } \\{ 4 ( 2 5 - x ) ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 2 5 ) + x ^ { 2 } [ 4 0 0 - ( 2 5 - x ) ^ { 2 } ] = 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 25 \\(x-5)\left[4(25-x)^{2}(x+5)+x^{2}(45-x)\right]=0\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow x=5 ;\end{array}\)\(t(0)=\frac{20+\sqrt{725}}{30}, t(25)=\frac{10+2 \sqrt{725}}{30}, t(5)=\frac{2 \sqrt{5}}{3} \Rightarrow\) Thời gian ngắn nhất làm con đường từ \(\mathrm{A}\) đến \(\mathrm{C}\) là \(\frac{2 \sqrt{5}}{3}\) (giờ).
Câu hỏi này nằm trong: