Cho hình vuông \(A B C D\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Gọi \(M\) là một điểm bất kì trên cạnh \(B C(M\) khác \(B\) và \(C), N\) là điểm trên cạnh \(C D\) sao cho \(B M=C N\). Gọi \(H, I\) lần lượt là giao điểm của \(A M\) với \(B N, D C\).
b) Tìm vị trí điểm \(M\) để độ dài đoạn \(M N\) ngắn nhất.
Giải thích:
\(\mathrm{Đặt \ } \mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{BM}=x \Rightarrow \mathrm{MC}=\mathrm{a}-x\)
Ta có \(\triangle M N C\) vuông tại \(\mathrm{C}\)
\(\begin{aligned}\Rightarrow \mathrm{MN}^{2} & =\mathrm{CM}^{2}+\mathrm{NC}^{2} \\& =(\mathrm{a}-x)^{2}+x^{2}=2 x^{2}-2 \mathrm{a} x^{2}+\mathrm{a}^{2} \\& =2\left(x^{2}-\mathrm{a} x+\frac{1}{2} a^{2}\right)=2\left(x^{2}-\mathrm{a} x+\frac{1}{4} a^{2}\right)+\frac{1}{2} a^{2} \\& =2\left(x-\frac{1}{2} a\right)^{2}+\frac{1}{2} a^{2} \geq \frac{1}{2} a^{2}\end{aligned}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-\frac{1}{2} a=0 \Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)
Suy ra \(M N \geq \frac{a \sqrt{2}}{2}\)
Do đó MN đạt giá trị nhỏ nhất là: \(\frac{a \sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)
Vậy \(\mathrm{M}\) là trung điểm của \(\mathrm{BC}\) thì \(\mathrm{MN}\) nhỏ nhất
Câu hỏi này nằm trong: