Giải hệ phương trình
\(\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^{2}+2 x+2}=\sqrt{y^{2}+1}-y-1 ~~~~~~~(1) \\x^{3}-\left(3 x^{2}+2 y^{2}-6\right) \sqrt{2 x^{2}-y-2}=0~~~~(2)\end{array}\right.\)\((x, y \in \mathbb{R})\).
Giải thích:
Điều kiện \(2 x^{2}-y-2 \geq 0\).
\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow(x+1+y)+\sqrt{(x+1)^{2}+1}-\sqrt{y^{2}+1}=0 \\\Leftrightarrow(x+1+y)+\frac{(x+1+y)(x+1-y)}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}}=0 \\\Leftrightarrow(x+1+y)\left(1+\frac{x+1-y}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}}\right)=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x+1+y=0 \\1+\frac{x+1-y}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}}=0\end{array}\right. \\\end{array}\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=-x-1 \\\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+(x+1)-y=0\left(^{*}\right)\end{array}\right.\)Ta có \(\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+(x+1)-y\gt |x+1|+(x+1)+|y|-y \geq 0\) nên phương trình \(\left({ }^{*}\right)\) vô nghiệm.
Thay \(y=-x-1\) vào phương trình (2) ta được phương trình
\(\begin{array}{l}x^{3}-\left(5 x^{2}+4 x-4\right) \sqrt{2 x^{2}+x-1}=0 \\\Leftrightarrow x^{3}+\left[3 x^{2}-4\left(2 x^{2}+x-1\right)\right] \sqrt{2 x^{2}+x-1}=0 ~~~(3)\end{array}\)Đặt \(a=\sqrt{2 x^{2}+x-1} \geq 0\), phương trình (3) trở thành
\(\begin{array}{l}x^{3}+3 x^{2} a-4 a^{3}=0 \Leftrightarrow(x-a)(x+2 a)^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=a \\x=-2 a\end{array}\right. \\x=a \Leftrightarrow \sqrt{2 x^{2}+x-1}=x \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x \geq 0 \\x^{2}+x-1=0\end{array} \Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right. \\x=-2 a \Leftrightarrow 2 \sqrt{2 x^{2}+x-1}=-x \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x \leq 0 \\7 x^{2}+4 x-4=0\end{array} \Leftrightarrow x=\frac{-2-4 \sqrt{2}}{7} \Rightarrow y=\frac{-5+4 \sqrt{2}}{7}\right. \\\text { Vậy hệ đã cho có nghiệm }(x ; y) \text { với }\left\{\begin{array} { c } { x = \frac { - 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } } \\{ y = - \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } }\end{array} \text { và } \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-2-4 \sqrt{2}}{7} \\y=\frac{-5+4 \sqrt{2}}{7}\end{array}\right.\right.\end{array}\)Câu hỏi này nằm trong: