Cho hình chóp đều \(S.A B C\) có \(A B C\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(S A=\frac{a \sqrt{21}}{6}\). Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\triangle A B C\) và kẻ \(A M \perp B C\).
c) Đoạn thẳng \(S M\) có độ dài bằng \(\frac{2 a}{\sqrt{3}}\)
A.
B.
Giải thích:
Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\triangle A B C\).
Vì hình chóp \(S .A B C\) đều nên \(S G \perp(A B C)\).
Ta có: \(G M\) là hình chiếu của \(S M\) trên mặt phẳng \((A B C)\) nên \(S M \perp B C\).
Xét \(\triangle A B C\) đều có \(A M\) là đường trung tuyến, \(G\) là trọng tâm nên \(G M=\frac{1}{3} A M=\frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{3}}{6}\)
Tam giác \(S M B\) vuông tại \(M\) nên:
\[S M^{2}=S B^{2}-B M^{2}=\left(\frac{a \sqrt{21}}{6}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{3} \Rightarrow S M=\frac{a}{\sqrt{3}} \text {. }\]Tam giác \(S G M\) vuông tại \(G\) nên: \(\cos \widehat{S M G}=\frac{G M}{S M}=\frac{a \sqrt{3}}{6} . \frac{\sqrt{3}}{a}=\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{S M G}=60^{\circ}\).
Câu hỏi này nằm trong: