Xét khối tứ diện \(A B C D\) có cạnh \(A B=x\), các cạnh còn lại đều bằng \(2 \sqrt{3}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(V_{A B C D}=\frac{\sqrt{3}}{3} x \sqrt{36-x^{2}}\)
A.
B.
Giải thích:
Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(C D\) và \(A B ; H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(B M\).
Ta có: \(\left.\begin{array}{l}C D \perp B M \\ C D \perp A M\end{array}\right\} \Rightarrow C D \perp(A B M) \Rightarrow(A B M) \perp(A B C)\).
Mà \(A H \perp B M ; B M=(A B M) \cap(A B C) \Rightarrow A H \perp(A B C)\).
Do \(A C D\) và \(B C D\) là hai tam giác đều cạnh \(2 \sqrt{3} \Rightarrow A M=B M=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \sqrt{3}=3\).
Tam giác \(A M N\) vuông tại \(N\), có: \(M N=\sqrt{A M^{2}-A N^{2}}=\sqrt{9-\frac{x^{2}}{4}}\).
Lại có: \(S_{B C D}=\frac{\sqrt{3}}{4}(2 \sqrt{3})^{2}=3 \sqrt{3}\).
\[V_{A B C D}=\frac{1}{3} A H \cdot S_{B C D}=\frac{1}{3} \cdot \frac{x \sqrt{36-x^{2}}}{6} \cdot 3 \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{6} x \sqrt{36-x^{2}} .\]Ta có: \(V_{A B C D}=\frac{\sqrt{3}}{6} x \sqrt{36-x^{2}} \leq \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{x^{2}+36-x^{2}}{2}=3 \sqrt{3}\).
Suy ra \(V_{A B C D}\) lớn nhất bằng \(3 \sqrt{3}\) khi \(x^{2}=36-x^{2} \Rightarrow x=3 \sqrt{2}\).
Câu hỏi này nằm trong: