Cho tam giác \(A B C\) có trọng tâm \(G\) và điểm \(N\) thỏa mãn \(\overline{N B}-3 \overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}\).
Gọi \(P\) là giao điểm của \(A C\) và \(G N\), tính tỉ số \(\frac{P A}{P C}\).
Giải thích:
Gọi \(M\) là trung diểm của cạnh \(B C\). Đặt \(\overrightarrow{A P}=k \overrightarrow{A C}\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow{G P}=\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A G}=k \overrightarrow{A C}-\frac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \\=\left(k-\frac{1}{3}\right) \overrightarrow{A C}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B} .\end{array}\)\(\overrightarrow{G N}=\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{M N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B C}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})+\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\frac{7}{6} \overrightarrow{A C}-\frac{5}{6} \overrightarrow{A B}\)Ba điểm \(G, P, N\) thẳng hàng nên hai vectơ \(\overrightarrow{G P}, \overrightarrow{G N}\) cùng phương.
Do đó
\(\begin{array}{l}\frac{k-\frac{1}{3}}{\frac{7}{6}}=\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{5}{6}} \Leftrightarrow \frac{k-\frac{1}{3}}{\frac{7}{6}}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow k-\frac{1}{3}=\frac{7}{15} \Leftrightarrow k=\frac{4}{5} \Rightarrow \overrightarrow{A P}=\frac{4}{5} \overrightarrow{A C} \\\Rightarrow A P=\frac{4}{5} A C \Rightarrow \frac{P A}{P C}=4 .\end{array}\)Câu hỏi này nằm trong: