Cho hàm số \(y=f(x)\) có \(f^{\prime}(x)\) dồng biến trên \(\mathbb{R}\) và \(f^{\prime}(0)=1\). Hàm số \(y=f(x)+e^{-x}\) nghịch biến trên khoảng nào cho dưới đây?
A.
\((0 ;+\infty)\).
B.
\((-2 ; 0)\).
C.
\((-\infty ; 1)\).
D.
\((-1 ; 1)\).
Giải thích:
Ta có: \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)-e^{-x}=f^{\prime}(x)-\frac{1}{e^{x}}\).Vi \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và \(f^{\prime}(0)=1\) nên ta có:
Vời \(x\gt 0\) thì \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)>1 \\ \frac{1}{e^{x}}\lt 1\end{array} \Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)-\frac{1}{e^{x}}>0\right.\).
Suy ra \(f(x)\) đồng biến trên \((0 ;+\infty)\).
Với \(x\lt 0\) thì \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)\lt 1 \\ \frac{1}{e^{x}}>1\end{array} \Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)-\frac{1}{e^{x}}\lt 0\right.\).
Suy ra \(f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty ; 0)\)
Vây hàm số nghich biến trên \((-2 ; 0)\).
Câu hỏi này nằm trong: