c) Giải bất phương trình \(x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0\).
Giải thích:
Giải bất phương trình \(x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0\)
\(\begin{array}{l}\text { Điều kiện } x \geq-1 \text {. } \\x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0 \Leftrightarrow x^{3}+3 x^{2} \sqrt{x+1}-4(x+1) \sqrt{x+1} \leq 0 \\\Leftrightarrow x^{3}+3 x^{2} \sqrt{x+1}-4(\sqrt{x+1})^{3} \leq 0\end{array}\)Xét \(x=-1\), thay vào (2) thỏa mãn.Xét \(x\gt -1 \Rightarrow \sqrt{x+1}>0\).
Chia hai vế của (2) cho \((\sqrt{x+1})^{3}\) ta được bất phương trình
\(\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)^{3}+3\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)^{2}-4 \leq 0 \text {. }\)Đặt \(t=\frac{x}{\sqrt{x+1}}\), ta có bất phương trình \(t^{3}+3 t^{2}-4 \leq 0 \Leftrightarrow(t-1)(t+2)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 1\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow-1\lt x \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\\end{array}\)Kết hợp \(x=-1\) là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình \(\left[-1 ; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]\).
Câu hỏi này nằm trong: