c) Giải bất phương trình $x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0$.

Q: c) Giải bất phương trình $x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0$.

Giải bất phương trình $x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0$$\begin{array}{l}\text { Điều kiện } x \geq-1 \text {. } \\x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0 \Leftrightarrow x^{3}+3 x^{2} \sqrt{x+1}-4(x+1) \sqrt{x+1} \leq 0 \\\Leftrightarrow x^{3}+3 x^{2} \sqrt{x+1}-4(\sqrt{x+1})^{3} \leq 0\end{array}$Xét $x=-1$, thay vào (2) thỏa mãn.Xét $x\gt -1 \Rightarrow \sqrt{x+1}>0$. Chia hai vế của (2) cho $(\sqrt{x+1})^{3}$ ta được bất phương trình$\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)^{3}+3\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)^{2}-4 \leq 0 \text {. }$Đặt $t=\frac{x}{\sqrt{x+1}}$, ta có bất phương trình $t^{3}+3 t^{2}-4 \leq 0 \Leftrightarrow(t-1)(t+2)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 1$$\begin{array}{l}\Leftrightarrow-1\lt x \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\\end{array}$Kết hợp $x=-1$ là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình $\left[-1 ; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$.

Question

Accepted Answer

Giải bất phương trình $x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0$

$\begin{array}{l}\text { Điều kiện } x \geq-1 \text {. } \x^{3}+\left(3 x^{2}-4 x-4\right) \sqrt{x+1} \leq 0 \Leftrightarrow x^{3}+3 x^{2} \sqrt{x+1}-4(x+1) \sqrt{x+1} \leq 0 \\Leftrightarrow x^{3}+3 x^{2} \sqrt{x+1}-4(\sqrt{x+1})^{3} \leq 0\end{array}$

Xét $x=-1$, thay vào (2) thỏa mãn.Xét $x\gt -1 \Rightarrow \sqrt{x+1}>0$.

Chia hai vế của (2) cho $(\sqrt{x+1})^{3}$ ta được bất phương trình

$\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)^{3}+3\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)^{2}-4 \leq 0 \text {. }$

Đặt $t=\frac{x}{\sqrt{x+1}}$, ta có bất phương trình $t^{3}+3 t^{2}-4 \leq 0 \Leftrightarrow(t-1)(t+2)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 1$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow-1\lt x \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\end{array}$

Kết hợp $x=-1$ là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình $\left[-1 ; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$.

Đề thi HSG (CT) 18-19 - Hải Dương - MĐ 6184