Viết lên bảng 2019 số: \(1 ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{3} ; \ldots ; \frac{1}{2018} ; \frac{1}{2019}\). Từ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y rồi viết lên bảng số \(\frac{x y}{x+y+1}\) ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
Giải thích:
Đặt \(z=\frac{x y}{x+y+1} \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x y} \Rightarrow \frac{1}{z}+1=\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)(1)\).
Với mỗi tập các số dương \(\left\{x_{1} ; x_{2} ; \ldots x_{n}\right\}\) tùy ý, xét biểu thức:
\(P\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots x_{n}\right)=\left(\frac{1}{x_{1}}+1\right)\left(\frac{1}{x_{2}}+1\right) \ldots .\left(\frac{1}{x_{n}}+1\right) \text {. }\)Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì \(x\); \(y\) rồi viết lên bảng số \(\frac{x y}{x+y+1}\) các số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức \(\mathrm{P}\) của các số trên bảng không đổi.
Gọi số cuối cùng là \(a \Rightarrow P(a)=P\left(\frac{1}{1} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{3} ; \ldots ; \frac{1}{2018} ; \frac{1}{2019}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}+1=\left(\frac{1}{1}+1\right) \cdot\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}+1\right) \cdots\left(\frac{1}{\frac{1}{2018}}+1\right) \cdot\left(\frac{1}{\frac{1}{2019}}+1\right)=2020!\Rightarrow a=\frac{1}{2020!-1}\).
Câu hỏi này nằm trong: