Trong mặt phẳng tọa độ \(O x y\), cho tam giác \(A B C\) có đường phân giác trong của góc \(A\) và đường cao ké từ \(C\) lần lượt có phưong trình \(x-y=0,2 x+y-3=0\). Đuờng thẳng \(A C\) đi qua điểm \(M(0 ;-1)\) và \(A B=3 A M\). Tồn tại hai điểm \(B\) thóa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó hãy tính tổng hoành độ hai điểm \(B\) đó.
Giải thích:
Goi \(d_{1}: x-y=0, d_{2}: 2 x+y-3=0\). Vi \(A \in d_{1}\) nên ta goi \(A(a ; a)\).
Vỉ đường thẳng \(A B\) vuông góc với \(d_{2}\) và đi qua \(A\) nên \(A B\) có phương trình \(x-2 y+a=0\).
Gọi \(M^{\prime}\) là điêm đối xúng với \(M\) qua \(d_{1}\).
Khi đó \(M^{\prime} \in A B\) và \(M M^{\prime}\) có phưong trinh \(x+y+1=0\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(d_{1}\) và \(M M^{\prime}\).
Khi đó \(I\left(\frac{-1}{2} ; \frac{-1}{2}\right)\) là trung điếm \(M M^{\prime}\).Từ đó ta có \(M^{\prime}(-1 ; 0)\).
Đường thẳng \(A B: x-2 y+a=0\) đi qua \(M^{\prime}(-1 ; 0)\) nên \(-1-2.0+a=0 \Leftrightarrow a=1 \Rightarrow A(1 ; 1)\).
Vì \(B \in A B: x-2 y+1=0\) nên ta goi \(B(2 b-1 ; b)\).
Có \(\overrightarrow{A M}=(-1 ;-2) \Rightarrow A M=\sqrt{5} \Rightarrow A B=3 \sqrt{5}\).
Có \(\overrightarrow{A B}=(2 b-2 ; b-1) \Rightarrow A B=\sqrt{(2 b-2)^{2}+(b-1)^{2}}\).
Từ dây, ta có phưong trinh \(\sqrt{(2 b-2)^{2}+(b-1)^{2}}=3 \sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow(2 b-2)^{2}+(b-1)^{2}=45 \Leftrightarrow 5 b^{2}-10 b-40=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { b = 4 } \\{ b = - 2 }\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}B(7 ; 4) \\B(-5 ; 4)\end{array}\right.\right.\)Vây có hai điểm \(B\) với tổng hoành độ là 2 .
Câu hỏi này nằm trong: