Gọi \(\{H\}=A C \cap B D\).

Vì hình chóp \(S . A B C D\) là hình chóp đều nên \(S H \perp(A B C D)\)

Ta có: \((S A C) \cap(S C D)=S C\).

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trền mặt phẳng \((S C D)\).

( Cách xác định điểm I:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(C D\). Nối \(S\) với \(M\). Gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trên \(S M\). Dễ dàng chứng minh được : \(S I \perp(\mathrm{S} C D)\). Tính được: \(S M=\frac{a \sqrt{14}}{2}, S H=a \sqrt{3}, H C=a, M C=\frac{a \sqrt{2}}{2}\).)

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(S C\).

Có: \(\left\{\begin{array}{l}H I \perp S C \\ K I \perp S C\end{array} \Rightarrow S C \perp(H I K) \Rightarrow S C \perp H K\right.\).

Lai có: \(S C \perp H I\) (vì \(H I \perp(\mathrm{SCD}), \mathrm{SC} \subset(\mathrm{SCD})\) ) suy ra góc giữa hai mă̆t phẳng \((S A C)\) và \((S C D)\) là góc \(H K I=\alpha\).

Tính \(\cos \alpha=\cos \mathrm{KHI}=\frac{I K}{H K}\).

+ Tinh \(H K: H K \cdot S C=S H \cdot H C \Rightarrow H K=\frac{S H \cdot \mathrm{HC}}{S C}=\frac{a \sqrt{3} \cdot a}{2 a}=\frac{a \sqrt{3}}{2}\).

+ Tính \(I K\) : Deี̃ thấy \(\Delta S I K-\triangle S C M \Rightarrow \frac{I K}{M C}=\frac{S K}{S M} \Rightarrow I K=\frac{S K \cdot M C}{S M}\).

* Tính \(S K\) : Áp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác \(S H C\) ta có:

Vây \(\cos \alpha=\cos K H I=\frac{I K}{H K}=\frac{\frac{3 a \sqrt{7}}{14}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\).