Cho các số thực dương \(x\) và \(y\) thoả mãn \(5+9 \cdot 3^{x^{2}-2 y}=\left(5+9^{x^{2}-2 y}\right) \cdot 7^{2 y-x^{x}+2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x+2 y+11}{x}\).
A.
\(P=6 .\)
B.
\(P=9\).
C.
\(P=7\).
D.
\(P=8\).
Giải thích:
Đặt \(t=x^{2}-2 y\). Phương trình đã cho trở thành:
\(\begin{array}{l}5+9.3^{t}=\left(5+9^{t}\right) \cdot 49.7^{-t} \Leftrightarrow 5.7^{t}+9.3^{t} \cdot 7^{7}-49.5-49.9^{t}=0 \\\Leftrightarrow 5 \cdot\left(7^{t}-49\right)+9.9^{t}\left(\left(\frac{7}{3}\right)^{t}-\frac{49}{9}\right)=0\end{array}\)Nhận xét:
\(t=2\) là nghiệm của \((1)\)
\(t\gt 2 \Rightarrow 7^{7}-49>0\) và \(9.9^{t}\left(\left(\frac{7}{3}\right)^{t}-\frac{49}{9}\right)>0 \Rightarrow \mathrm{VT}>0\) : Phương trình vô nghiệm
\(t\lt 2 \Rightarrow 7^{7}-49\lt 0\) và \(9.9^{t}\left(\left(\frac{7}{3}\right)^{t}-\frac{49}{9}\right)\lt 0 \Rightarrow \mathrm{VT}\lt 0\) : Phương trình vô nghiệm
Vậy (1) có nghiệm duy nhất là \(t=2 \Rightarrow x^{2}-2 y=2 \Leftrightarrow 2 y=x^{2}-2\)Khi đó, \(P=\frac{x+2 y+11}{x}=\frac{x+x^{2}-2+11}{x}=x+\frac{9}{x}+1 \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}}+1=7,(x>0)\) \(\Rightarrow \text{Min} P=9\) khi và chỉ khi \(x=4, y=7\).
Câu hỏi này nằm trong: