Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục tung là \(A_{1}(0 ; 2)\), trên trục hoành là \(A_{2}(1 ; 0)\).

Ta có: \(\overrightarrow{C A}=(0 ; 0)\) và \(\overrightarrow{C B}=(0 ; 0)\) suy ra \(3 \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{0}\)

Cách 1: Do \(M\) trên trục hoành \(\Rightarrow M(x ; 0), \overrightarrow{A B}=(3 ; 4) \Rightarrow A B=5\).

\(\overrightarrow{A M}=(x+1 ;-1), \overrightarrow{M B}=(2-x ; 5)\)

Ta có chu vi tam giác \(A M B\) :

\(P_{A B M}=5+\sqrt{(x+1)^{2}+1^{2}}+\sqrt{(2-x)^{2}+5^{2}} \geq 5+\sqrt{(x+1+2-x)^{2}+(1+5)^{2}}\)

\(\Leftrightarrow P_{A B M} \geq 5+3 \sqrt{5}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x+1}{2-x}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \Rightarrow M\left(-\frac{1}{2} ; 0\right)\).

Cách 2: Lấy đối xứng \(A\) qua \(O x\) ta được \(A^{\prime}(-1 ;-1)\). Ta có \(M A+M B=M A^{\prime}+M B \geq A^{\prime} B\). Dấu bằng xảy ra khi \(M\) trùng với giao điểm của \(A^{\prime} B\) với \(O x\).

Sai: Tọa độ trọng tâm của tam giác \(A B C\) là \(G\left(\frac{7}{3} ; \frac{2}{3}\right)\)