Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}(x-2) \sqrt{y-1}-(y-3) \sqrt{x}=0 \\ \left(x^{2}+y^{2}-x+4=2 y \sqrt{x+3}\right.\end{array}\right.\).
Giải thích:
Cách 1:Ta thấy \(\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.\) thóa phưong trình (1) nhưg không thỏa phươg trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho.Xét \(\left\{\begin{array}{l}x \neq 2 \\ y \neq 3\end{array}\right.\)
Ta có: \((1) \Leftrightarrow(x-2) \sqrt{y-1}=(y-3) \sqrt{x} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{y-1}}{(y-1)-2}=\frac{\sqrt{x}}{x-2}\).
Xét hàm sỗ: \(f(t)=\frac{\sqrt{t}}{t-2}\) trên \([0 ;+\infty) \backslash\{2\}\).
\(f^{\prime}(t)=\frac{-t-2}{2 \sqrt{t}(t-2)^{2}}\lt 0 \quad \forall t \in[0 ;+\infty) \backslash\{2\} .\)Suy ra hàm số: \(f(t)=\frac{\sqrt{t}}{t-2}\) nghịch biến trên mỗi khoảng \([0 ; 2) ;(2 ;+\infty)\).
Do đó: \(\frac{\sqrt{y-1}}{(y-1)-2}=\frac{\sqrt{x}}{x-2} \Leftrightarrow x=y-1 \Leftrightarrow y=x+1\).
Cách 2:
\(\begin{array}{l}\text { (1) } \Leftrightarrow x \sqrt{y-1}-2 \sqrt{y-1}-(y-1) \sqrt{x}+2 \sqrt{x}=0 \\\Leftrightarrow \sqrt{x} \sqrt{y-1}(\sqrt{x}-\sqrt{y-1})+2(\sqrt{x}-\sqrt{y-1})=0 \\\Leftrightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y-1})(\sqrt{x} \sqrt{y-1}+2)=0 \\\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y-1}(d o \sqrt{x} \sqrt{y-1}+2\gt 0 \quad \forall x \geq 0 ; \forall y \geq 1) \\\Leftrightarrow x=y-1 \Leftrightarrow y=x+1 .\end{array}\)Thay \(y=x+1\) vào phưong trình (2) ta đươc:
\(x^{2}+(x+1)^{2}-x+4=2(x+1) \sqrt{x+3} \Leftrightarrow 2 x^{2}+x+5=2(x+1) \sqrt{x+3}\)Đă̆t \(u=\sqrt{x+3} \Rightarrow u^{2}=x+3 \Rightarrow x=u^{2}-3 \quad(u \geq \sqrt{3}\) do \(x \geq 0)\).
Phương trình (3) trờ thành
\(2 u^{4}-2 u^{3}-11 u^{2}+4 u+20=0 \Leftrightarrow(u-2)^{2}\left(2 u^{2}+6 u+5\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}u=2 \\2 u^{2}+6 u+5=0(V N)\end{array}\right.\)Với \(u=2 \Rightarrow x=2^{2}-3=1 \Rightarrow y=1+1=2\). (thóa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \(\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.\).
Cách 3:
\(\begin{array}{l}\text { (2) } \Leftrightarrow x^{2}-2 x+1+y^{2}-2 y \sqrt{x+3}+x+3=0 \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-\sqrt{x+3})^{2}=0 \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x = 1 } \\{ y = \sqrt { x + 3 } }\end{array} \left\{\begin{array}{l}x=1 \\y=\sqrt{1+3}=2\end{array}\right.\right.\end{array}\)Ta thấy \(\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.\) thóa phương trình (1).
Vậy nghiệm của hệ phưong trình đã cho là: \(\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.\).
Câu hỏi này nằm trong: