- Ta có : \(2021 a_{n+1}=a_{n}^{2}+2023 a_{n}+1 \Leftrightarrow 2021\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a_{n}^{2}+2 a_{n}+1\)

\(\Leftrightarrow 2021\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=\left(a_{n}+1\right)^{2} \geq 0, \forall n\) suy ra dãy số \(\left(a_{n}\right)\) tăng, suy ra \(a_{n} \geq 2, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

- Mặt khác ta có:

- Vậy \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{a_{1}+1}{a_{2}+1}+\frac{a_{2}+1}{a_{3}+1}+\ldots+\frac{a_{n}+1}{a_{n+1}+1}\right)=2021 \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{a_{1}+2022}+\frac{1}{a_{2}+2022}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+2022}\right)\).

- Từ \(2021\left(a_{n+1}+1\right)=\left(a_{n}+1\right)\left(a_{n}+2022\right) \Leftrightarrow \frac{1}{a_{n}+2022}=\frac{1}{a_{n}+1}-\frac{1}{a_{n+1}+1}\).

- Suy ra tổng

\(\begin{array}{l}S_{n}=\frac{1}{a_{1}+2022}+\frac{1}{a_{2}+2022}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+2022} \\\Leftrightarrow S_{n}=\frac{1}{a_{1}+1}-\frac{1}{a_{2}+1}+\frac{1}{a_{2}+1}-\frac{1}{a_{3}+1}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+1}-\frac{1}{a_{n+1}+1} \\\Leftrightarrow S_{n}=\frac{1}{a_{1}+1}-\frac{1}{a_{n+1}+1} \Leftrightarrow S_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{a_{n+1}+1} .\end{array}\)

Vì \(\left(a_{n}\right)\) là dãy tăng, ta xét:

- TH1: Dãy số \(\left(a_{n}\right)\) tăng và bị chặn trên. Giả sử \(\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=b\) với điều kiện \(b \geq 2\).

Khi đó \(2021 b=b^{2}+2023 b+1 \Leftrightarrow b^{2}+2 b+1=0 \Leftrightarrow b=-1\) (không thỏa mãn điều kiện).

- TH2: Dãy số \(\left(a_{n}\right)\) tăng và không bị chặn trên. Khi đó \(\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=+\infty\) suy ra \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{a_{n+1}+1}=0\).

Vậy \(\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}=\frac{1}{3}\).

Vậy \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{a_{1}+1}{a_{2}+1}+\frac{a_{2}+1}{a_{3}+1}+\ldots+\frac{a_{n}+1}{a_{n+1}+1}\right)=\frac{2021}{3}\).