Một người thợ thủ công cần làm một cái thùng hình hộp đứng không nắp đáy là hình vuông có thể tích \(100 \mathrm{~cm}^{3}\). Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người đó cần thiết kế sao cho tổng \(S\) của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất
A.
\(S=30 \sqrt[3]{40}\).
B.
\(S=40 \sqrt[3]{40}\).
C.
\(S=10 \sqrt[3]{40}\).
D.
\(S=20 \sqrt[3]{40}\).
Giải thích:
Gọi cạnh đáy, cạnh bên của hình hộp đứng lần lượt là \(x\) và \(y(x, y\gt 0)\)
Ta có: \(V=100 \Rightarrow x^{2} y=100 \Rightarrow y=\frac{100}{x^{2}}\). Khi đó:
\(S=4 x y+x^{2}=4 x \cdot \frac{100}{x^{2}}+x^{2}=\frac{400}{x}+x^{2}\)
\(=\frac{200}{x}+\frac{200}{x}+x^{2} \geq 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{200}{x} \cdot \frac{200}{x} \cdot x^{2}}=3 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 10^{3}}=30 \sqrt[3]{40}\)
Vậy \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(30 \sqrt[3]{40}\) khi \(\frac{200}{x}=x^{2} \Leftrightarrow x^{3}=200 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{200}\)
Câu hỏi này nằm trong: