Trong mặt phẳng tọa độ \(O x y\), cho đường thẳng \(d: 3 x+4 y-12=0\) và elip \((E)\) có độ dài trục lớn bằng 8 , độ dài trục nhỏ bằng 6 . Đường thẳng \(d\) cắt \((E)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) \((O B\gt O A)\). Gọi \(C(m ; n), m>0\) là điểm thuộc \((E)\) sao cho tam giác \(A B C\) có diện tích bằng 6. Giá trị biểu thức \(T=\sqrt{2}(m+n)\) bằng bao nhiêu?
Giải thích:
\((E)\) có phương trình chính tắc dạng \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\).
Theo giả thiết ta có \(a=4, b=3\) nên phương trình của elip \((E)\) là \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\).
Tọa độ điểm giao điểm \(A, B\) của \(d\) và \((E)\) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{\begin{array} { l } { 3 x + 4 y - 1 2 = 0 } \\{ \frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { 3 x + 4 y - 1 2 = 0 } \\{ 9 x ^ { 2 } + 1 6 y ^ { 2 } = 1 4 4 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { x = 4 } \\{ y = 0 }\end{array} \text { hoăc } \left\{\begin{array}{l}x=0 \\y=3\end{array}\right.\right.\right.\right. \text {. }\)
Do \(O B\gt O A\) nên \(A(0 ; 3), B(4 ; 0) \rightarrow A B=5 ; d(C, d)=\frac{|3 m+4 n-12|}{5}\)
\(S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot d(C, d)=\frac{|3 m+4 n-12|}{2}=6 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3 m+4 n=24 \\3 m+4 n=0\end{array} .\right.\)
Do \(C(m ; n) \in(E)\) nên.
\(\frac{m^{2}}{16}+\frac{n^{2}}{9}=1 \Leftrightarrow 9 m^{2}+16 n^{2}=144 \Leftrightarrow(3 m+4 n)^{2}-24 m n=144\)
Trường hợp 1: \(\left\{\begin{array}{l}3 m+4 n=24 \\ 3 m .4 n=216\end{array}\right.\) (vô nghiệm).
Trường hợp 2: \(\left\{\begin{array}{l}3 m+4 n=0 \\ 3 m .4 n=-72\end{array}\right.\)
Kết hợp với điều kiện \(m\gt 0\) ta tìm được \(m=2 \sqrt{2} ; n=-\frac{3}{\sqrt{2}} \rightarrow T=\sqrt{2}(m+n)=1\).
Câu hỏi này nằm trong: