Trong không gian \(O x y z\), cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 z+1=0\) và đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=t \\ z=m+t\end{array}\right.\). Tổng các giá trị của \(m\) để \(d\) cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) sao cho các mặt phẳng tiếp diện của \((S)\) tại \(A\) và \(B\) vuông góc với nhau bằng
A.
-1.
B.
-5.
C.
3.
D.
-4.
Giải thích:
Do \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 z+1=0\) nên tâm của mặt cầu là \(I(1 ; 0 ;-2)\).
Xét phương trình \((2-t)^{2}+t^{2}+(m+t)^{2}-2(2-t)+4(m+t)+1=0\).
\(\Leftrightarrow 3 t^{2}+2(m+1) t+m^{2}+4 m+1=0 \text { (1). }\)Đường thẳng \(d\) cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B \Leftrightarrow\) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
\(t_{1}, t_{2} \Leftrightarrow \Delta^{\prime}\gt 0 \Leftrightarrow-2 m^{2}-10 m-2>0 \Leftrightarrow \frac{-5-\sqrt{21}}{2}\lt m\lt \frac{-5+\sqrt{21}}{2}\)Khi đó, theo định lý Vi - ét ta có: \(\left\{\begin{array}{l}t_{1}+t_{2}=-\frac{2(m+1)}{3} \\ t_{1} t_{2}=\frac{m^{2}+4 m+1}{3}\end{array}\right.\).
Ta có \(A\left(2-t_{1} ; t_{1} ; m+t_{1}\right) ; B\left(2-t_{2} ; t_{2} ; m+t_{2}\right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{I A}\left(1-t_{1} ; t_{1} ; m+2+t_{1}\right) ; \overrightarrow{I B}\left(1-t_{2} ; t_{2} ; m+2+t_{2}\right) \text {. }\)Các mặt phẳng tiếp diện của \((S)\) tại \(A\) và \(B\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi\(\overrightarrow{I A} \cdot \overrightarrow{I B}=0 \Leftrightarrow\left(1-t_{1}\right)\left(1-t_{2}\right)+t_{1} t_{2}+\left(m+2+t_{1}\right)\left(m+2+t_{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m^{2}+5 m+4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-1 \\ m=-4\end{array}\right.\) (thỏa mãn điều kiện (2)).
Vậy tổng các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là -5.
Câu hỏi này nằm trong: