Tìm \(m \in \mathbb{R}\) để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của \(\left(C_{m}\right): y=x^{3}-2 x^{2}+(m-1) x+2 m\) vuông góc với đường thẳng \(y=-x\) ?
A.
\(m=\frac{10}{3}\)
B.
\(m=\frac{1}{3}\)
C.
\(m=\frac{10}{13}\)
D.
\(m=1\)
Giải thích:
Gọi \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến với \(\left(C_{m}\right)\)
Ta có: \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)=3 x_{0}^{2}-4 x_{0}+m-1=3\left(x_{0}-\frac{2}{3}\right)^{2}+m-\frac{7}{3} \geq m-\frac{7}{3}\)
Để hệ số góc đạt giá trị nhỏ nhất là \(y^{\prime}=m-\frac{7}{3}\) khi \(x_{0}=\frac{2}{3}\)
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-x\) nên:
\(y^{\prime}\left(\frac{2}{3}\right) \cdot(-1)=-1 \Leftrightarrow\left(m-\frac{7}{3}\right)(-1)=-1 \Leftrightarrow m=\frac{10}{3}\)
Câu hỏi này nằm trong: