b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_{n}\right)$.

Q: b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_{n}\right)$.

Ta có $\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n}^{2}}$.Đặt $v_{n}=\frac{1}{u_{n}}$, ta có $v_{n+1}=2 v_{n}-v_{n}^{2} \Leftrightarrow v_{n+1}-1=2 v_{n}-v_{n}^{2}-1 \Leftrightarrow v_{n+1}-1=-\left(v_{n}-1\right)^{2}$.$\Leftrightarrow v_{n+1}-1=\left(v_{n-1}-1\right)^{4} \Leftrightarrow v_{n+1}-1=(-1)^{n+1}\left(v_{1}-1\right)^{2 n}=(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n} \text {. }$Suy ra $v_{n+1}=(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n}+1$, hay $v_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-2}+1 \Rightarrow u_{n}=\frac{1}{1+(-1)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-2}}$.

Question

Accepted Answer

Ta có $\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n}^{2}}$.

Đặt $v_{n}=\frac{1}{u_{n}}$, ta có $v_{n+1}=2 v_{n}-v_{n}^{2} \Leftrightarrow v_{n+1}-1=2 v_{n}-v_{n}^{2}-1 \Leftrightarrow v_{n+1}-1=-\left(v_{n}-1\right)^{2}$.

$\Leftrightarrow v_{n+1}-1=\left(v_{n-1}-1\right)^{4} \Leftrightarrow v_{n+1}-1=(-1)^{n+1}\left(v_{1}-1\right)^{2 n}=(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n} \text {. }$

Suy ra $v_{n+1}=(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n}+1$, hay $v_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-2}+1 \Rightarrow u_{n}=\frac{1}{1+(-1)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-2}}$.

Đề thi HSG (CT) 20-21 - Phú Yên - MĐ 6218