Đặt \(z=x+y i, x, y \in \mathbb{R}\).

Ta có: \((z-6)(8+\overline{z i})=(x-6+y i)(8-y-x i)=(x-6)(8-y)+x y+[(6-x) x+(8-y) y] i\)

Theo giả thiết: \((z-6)(8+\overline{z i})\) là số thực \(\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0\).

Gọi \(M, N\) lần lượt là hai điểm biểu diễn \(z_{1}, z_{2}\) nên theo giả thiết trên ta được \(M, N\) thuộc đường tròn tâm \(I(3 ; 4)\), bán kính \(R=5\).

Lại có \(\left|z_{1}-z_{2}\right|=4 \Leftrightarrow M N=4\).

Gọi \(Q\) là trung điểm \(M N\) thì \(Q Q=\sqrt{21}\).

Đặt \(P\) thỏa \(\overrightarrow{P M}+3 \overrightarrow{P N}=\overrightarrow{0} \Rightarrow P\) là trung điểm của \(Q N\) nên \(I P=\sqrt{22}\) hay \(P\) thuộc đường tròn tâm \(I(3 ; 4)\) bán kính \(r=\sqrt{22}\).

\(\left|z_{1}+3 z_{2}\right|=|\overrightarrow{O M}+3 \overrightarrow{O N}|=4 O P \geq 4(O 1-r)=4(5-\sqrt{22}) \text {. }\)